Calcule o ângulo entre a reta r: X= (1,-1,0)+lambda(2,3,1) e o plano pi: x-y+2 z-3= 0

Passo 1

O enunciado quer o ângulo entre a reta
r: vec X=(1,-1,0)+lambda,(2,3,1)
e o plano
pi: x - y + 2z - 3=0.
Isso é um problema de geometria analítica no espaço. Para resolvê-lo, vamos usar o vetor direção da reta e o vetor normal ao plano, além da fórmula que relaciona esses vetores ao ângulo procurado.

Passo 2

Extraímos os vetores:
o vetor direção da reta r é
vec v = (2,3,1),
e o vetor normal ao plano pi é
vec n = (1,-1,2)

Passo 3

Na geometria analítica, o ângulo alpha entre uma reta (de direção vec v) e um plano (de normal vec n) satisfaz
sinalpha ;=;l|vec ncdotvec vr||vec n|;|vec v|

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
vec ncdotvec v = 1cdot2 + (-1)cdot3 + 2cdot1 = 1,
|vec n| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz6,
|vec v| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz14

Passo 5

Substituindo na fórmula:
sinalpha = 1raiz6,raiz14 = 1raiz84
Logo
alpha = arcsinl(tfrac1raiz84r),
que em graus dá aproximadamente
alphaapprox6,27^circ.

Resposta

alpha = arcsinl(tfrac1raiz84r)approx6,27^circ

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