Calcule o ângulo entre a reta r: x-22=y+11= z-13 e o plano pi: 2 x-3 y+z+1=0

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta
r:x-22=y+11=z-13
e o plano
pi:2x-3y+z+1=0
Aqui vamos usar geometria analítica no espaço: extrair o vetor diretor v da reta e o vetor normal n do plano, empregar o produto escalar para achar o ângulo theta entre v e n e então obter o ângulo phi entre a reta e o plano (que é o complemento de theta).

Passo 2

Da forma simétrica da reta temos o vetor diretor
v = lang<= 2,,1,,3rang<=
Da equação do plano reconhecemos o vetor normal
n = lang<= 2,,-3,,1rang<=
Por definição, o ângulo theta entre dois vetores satisfaz
costheta = |vcdotn||v|;|n|
E o ângulo phi entre a reta e o plano é dado por
phi = 90^circ - theta Longrightarrow phi = arcsin!l(|vcdotn||v|;|n|r)

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar e as normas:
vcdotn =2cdot2 + 1cdot(-3) + 3cdot1 =4 -3 +3 =4,
|v| =raiz2^2+1^2+3^2 =raiz4+1+9 =raiz14,
|n| =raiz2^2+(-3)^2+1^2 =raiz4+9+1 =raiz14

Passo 4

Substituindo na fórmula de phi:
phi =arcsin!l(|vcdotn||v|,|n|r) =arcsin!l(4raiz14,raiz14r) =arcsin!l(414r) =arcsin!l(27r)
Em graus isso dá aproximadamente
phiapprox 16,6^circ

Resposta

phi = arcsin!l(tfrac27r)approx16,6^circ.

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