Encontre o ângulo entre os planos:
pi1: 4 x-2 y-2 z=5, pi2:-2 x+y+z=2

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas de interseção de dois planos
pi1:4x-2y-2z=5 e pi2:-2x+y+z=2.
O conteúdo aqui é ângulo entre planos, que se reduz ao ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Vamos extrair os vetores normais de cada plano.
Para pi1, o normal é
n1 = (4,,-2,,-2),
e para pi2, o normal é
n2 = (-2,;1,;1)

Passo 3

O ângulo phi entre os planos satisfaz
cosphi = l|n1cdot n2r||n1|;|n2|
Então precisamos do produto escalar e dos módulos.

Passo 4

Calculemos o produto escalar e os módulos:
n1cdot n2 = 4cdot(-2) + (-2)cdot1 + (-2)cdot1 = -8 -2 -2 = -12,
|n1| = raiz4^2+(-2)^2+(-2)^2 = raiz16+4+4 = 2raiz6,
|n2| = raiz(-2)^2+1^2+1^2 = raiz4+1+1 = raiz6

Passo 5

Agora
cosphi = l|-12r|2raiz6;timesraiz6 = 122cdot6 = 1
e portanto
phi = arccos(1) = 0
Como phi=0, concluímos que os planos são paralelos.

Resposta

O ângulo entre os planos é 0.

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