Encontre o ângulo entre os planos:
pi1: 4 x+2 y-2 z=5, pi2:-x+y+4 z=2

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos
pi1:4x+2y-2z=5 e pi2:-x+y+4z=2.
Conteúdo: geometria no espaço, mais especificamente o cálculo do ângulo entre planos, que se obtém pelo ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Identificamos os vetores normais:
n1=(4,2,-2) para pi1 e n2=(-1,1,4) para pi2.

Passo 3

A fórmula para o ângulo theta entre planos é
costheta = lvert n1 cdot n2rvert|n1|;|n2|,
onde n1 cdot n2 é o produto escalar e |cdot| a norma.

Passo 4

Calculamos produto escalar e normas:
n1cdotn2 = 4cdot(-1)+2cdot1+(-2)cdot4 = -10,
|n1| = raiz4^2+2^2+(-2)^2 = raiz24 = 2raiz6,
|n2| = raiz(-1)^2+1^2+4^2 = raiz18 = 3raiz2

Passo 5

Substituindo na fórmula:
costheta = lvert -10rvert(2raiz6)(3raiz2) = 106raiz12 = 106cdot2raiz3 = 56raiz3 = 5raiz318

Passo 6

Logo,
theta = arccos!l(5raiz318r) approx 61,2^circ

Resposta

theta = arccos!l(5raiz318r)approx61,2^circ

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