Questão 4 Seja
e
. Verifique se
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
Queremos ver se
é um subespaço de
. Para isso, precisamos mostrar que
-
não é vazio (contém o vetor zero); -
é fechado sob soma de vetores; -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar que o vetor zero
está em
. Basta notar que se escolhermos
, então
, logo
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
tais que
Então a soma é
e essa forma satisfaz a condição de
, pois o primeiro componente é
vezes o segundo. Assim,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja um escalar
e um vetor
com
. Então
que também satisfaz
. Logo
.