Questão 4 Seja V=\mathbb{R}^{2} e S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=3 y\right\}. Verifique se S é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado diz que V=\mathbb{R}^2 e
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x = 3y\}.
Queremos ver se S é um subespaço de V. Para isso, precisamos mostrar que
  1. S não é vazio (contém o vetor zero);
  2. S é fechado sob soma de vetores;
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero (0,0) está em S. Basta notar que se escolhermos y=0, então x=3\cdot 0=0, logo
(0,0)\in S.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores quaisquer em S, digamos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) tais que
x_1 = 3y_1 \quad\text{e}\quad x_2 = 3y_2.
Então a soma é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2) = (3y_1+3y_2,\;y_1+y_2) = \bigl(3(y_1+y_2),\;y_1+y_2\bigr),
e essa forma satisfaz a condição de S, pois o primeiro componente é 3 vezes o segundo. Assim, (x_1+x_2,y_1+y_2)\in S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja um escalar \alpha\in\mathbb{R} e um vetor (x,y)\in S com x=3y. Então
\alpha\,(x,y) = (\alpha x,\;\alpha y) = \bigl(\alpha\cdot3y,\;\alpha y\bigr) = \bigl(3(\alpha y),\;\alpha y\bigr),
que também satisfaz x'=3y'. Logo \alpha(x,y)\in S.

Resposta

S é um subespaço de V.

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