Calcule o ângulo entre o vetor x=(x1, x2, x3) e cada um dos vetores e1, e2 e e3 de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre calcular o ângulo entre um vetor qualquer x = (x1, x2, x3) e cada um dos vetores canônicos e1, e2 e e3 em um espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é baseada no produto escalar:
cos(theta) = a cdot b||a|| , ||b||
Aqui, theta é o ângulo entre os vetores a e b, a cdot b é o produto escalar, e ||a||, ||b|| são as normas (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o ângulo entre x e cada dos vetores canônicos e1, e2 e e3. Primeiro, precisamos saber o que são esses vetores canônicos:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Esses vetores têm norma 1, ou seja, ||ei|| = 1 para i = 1, 2, 3.

Passo 4

Vamos começar calculando o produto escalar entre x e cada vetor canônico:
x cdot e1 = x1 cdot 1 + x2 cdot 0 + x3 cdot 0 = x1
x cdot e2 = x1 cdot 0 + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 = x2
x cdot e3 = x1 cdot 0 + x2 cdot 0 + x3 cdot 1 = x3

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma do vetor x:
||x|| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2

Passo 6

Com os valores do produto escalar e a norma, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo para cada caso:
Para e1:
cos(theta1) = x1||x|| cdot 1 = x1||x||
Para e2:
cos(theta2) = x2||x|| cdot 1 = x2||x||
Para e3:
cos(theta3) = x3||x|| cdot 1 = x3||x||

Passo 7

Finalmente, para encontrar os ângulos theta1, theta2 e theta3, usamos a função arco cosseno (que é a função inversa do cosseno):
theta1 = arccos(x1raizx1^2 + x2^2 + x3^2)
theta2 = arccos(x2raizx1^2 + x2^2 + x3^2)
theta3 = arccos(x3raizx1^2 + x2^2 + x3^2)

Resposta

Os ângulos entre o vetor x e os vetores canônicos são:
theta1 = arccos(x1raizx1^2 + x2^2 + x3^2)
theta2 = arccos(x2raizx1^2 + x2^2 + x3^2)
theta3 = arccos(x3raizx1^2 + x2^2 + x3^2)

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