Calcule o ângulo entre o vetor e cada um dos vetores e de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre calcular o ângulo entre um vetor qualquer e cada um dos vetores canônicos , e em um espaço tridimensional . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é baseada no produto escalar:
Aqui, é o ângulo entre os vetores e , é o produto escalar, e , são as normas (ou comprimentos) dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o ângulo entre e cada dos vetores canônicos , e . Primeiro, precisamos saber o que são esses vetores canônicos:
Esses vetores têm norma 1, ou seja, para .
Passo 4
Vamos começar calculando o produto escalar entre e cada vetor canônico:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma do vetor :
Passo 6
Com os valores do produto escalar e a norma, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo para cada caso:
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Finalmente, para encontrar os ângulos , e , usamos a função arco cosseno (que é a função inversa do cosseno):
theta2 = arccos(x2raizx1^2 + x2^2 + x3^2)
theta3 = arccos(x3raizx1^2 + x2^2 + x3^2)
Resposta
Os ângulos entre o vetor x e os vetores canônicos são: