Verifique se a função
é contínua para todo
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função
é contínua para todo
. A função está definida de forma diferente dependendo de
: para
, ela é
, e para
, é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções, que basicamente verifica se não tem “quebras” ou “saltos” no gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que funções polinomiais, como
e
, são contínuas em todo o seu domínio. Isso quer dizer que, para qualquer
que não seja o ponto onde a definição da função muda (no caso,
), a função é contínua. Então, o único ponto que precisamos verificar é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, precisamos conferir três coisas:
- O valor da função em
, que é . - O limite da função quando
se aproxima de 0 pela direita ( ). - O limite da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ).
Se os dois limites existirem e forem iguais ao valor da função em
, então a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular cada um:
- Valor da função em
:
- Limite quando
(à direita):
Como, usamos .
- Limite quando
(à esquerda):
Como, usamos .
Passo 5
Comparando os resultados:
Como os limites laterais são iguais e correspondem ao valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua para todo
real.