Verifique se a função f(x) é contínua para todo x : f(x)=x+1, x >= 0 ;-3 x+1, x<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função f(x) é contínua para todo x . A função está definida de forma diferente dependendo de x : para x >= 0 , ela é f(x) = x + 1 , e para x < 0 , é f(x) = -3x + 1 . O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções, que basicamente verifica se não tem “quebras” ou “saltos” no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que funções polinomiais, como x + 1 e -3x + 1 , são contínuas em todo o seu domínio. Isso quer dizer que, para qualquer x que não seja o ponto onde a definição da função muda (no caso, x = 0 ), a função é contínua. Então, o único ponto que precisamos verificar é x = 0 .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é contínua em x = 0 . Para isso, precisamos conferir três coisas:
  1. O valor da função em x = 0 , que é f(0) .
  2. O limite da função quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+ ).
  3. O limite da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x to 0^- ).
Se os dois limites existirem e forem iguais ao valor da função em x = 0 , então a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular cada um:
  1. Valor da função em x = 0 :
f(0) = 0 + 1 = 1
  1. Limite quando x to 0^+ (à direita):
    Como x >= 0 , usamos f(x) = x + 1 .
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x + 1) = 0 + 1 = 1
  1. Limite quando x to 0^- (à esquerda):
    Como x < 0 , usamos f(x) = -3x + 1 .
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (-3x + 1) = -3(0) + 1 = 1

Passo 5

Comparando os resultados:
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^- f(x) = f(0) = 1
Como os limites laterais são iguais e correspondem ao valor da função em x = 0 , a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função f(x) é contínua para todo x real.

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