Prove que a norma em
satisfaz a seguinte propriedade: se u ev são yetores quaisquer de
, então
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. Queremos provar que, em
, para quaisquer vetores
e
, a norma deles satisfaz a seguinte propriedade chamada desigualdade triangular:
Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, especificamente propriedades das normas e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma norma. Em
, a norma de um vetor
é definida como:
Isso basicamente mede o “tamanho” do vetor no espaço n-dimensional.
Passo 3
Agora, vamos considerar a norma de
:
Nosso objetivo é mostrar que isso é menor ou igual a
.
Passo 4
Para simplificar, vamos usar a propriedade do produto escalar que nos diz que:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma que:
Isso nos permite dizer que:
Passo 6
Substituindo isso na expressão de
, temos:
Passo 7
Finalmente, tomando a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade, obtemos:
Isso prova a desigualdade triangular para as normas em
.
Resposta
A norma em
satisfaz a propriedade
para quaisquer vetores
e
.