Prove que a norma em R^n satisfaz a seguinte propriedade: se u ev são yetores quaisquer de R^n, então
|u+v| <=|u|+|v|

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Queremos provar que, em R^n, para quaisquer vetores u e v, a norma deles satisfaz a seguinte propriedade chamada desigualdade triangular:
|u+v| <= |u| + |v|
Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, especificamente propriedades das normas e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma norma. Em R^n, a norma de um vetor u = (u1, u2, dots, un) é definida como:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2
Isso basicamente mede o “tamanho” do vetor no espaço n-dimensional.

Passo 3

Agora, vamos considerar a norma de u + v:
|u + v| = raiz(u1 + v1)^2 + (u2 + v2)^2 + dots + (un + vn)^2
Nosso objetivo é mostrar que isso é menor ou igual a |u| + |v|.

Passo 4

Para simplificar, vamos usar a propriedade do produto escalar que nos diz que:
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = |u|^2 + 2u cdot v + |v|^2
Então, temos:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2u cdot v + |v|^2

Passo 5

Agora, vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma que:
|u cdot v| <= |u| cdot |v|
Isso nos permite dizer que:
2u cdot v <= 2|u| cdot |v|

Passo 6

Substituindo isso na expressão de |u + v|^2, temos:
|u + v|^2 <= |u|^2 + 2|u| cdot |v| + |v|^2 = (|u| + |v|)^2

Passo 7

Finalmente, tomando a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade, obtemos:
|u + v| <= |u| + |v|
Isso prova a desigualdade triangular para as normas em R^n.

Resposta

A norma em R^n satisfaz a propriedade |u+v| <= |u| + |v| para quaisquer vetores u e v.

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