Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo
e
.
Passo 1
O enunciado dá um triedro (triedro = reunião de três planos que se encontram numa aresta comum) cujas faces formam ângulos (ângulos de face, isto é, os ângulos planos entre arestas que se encontram no vértice) iguais a
,
e
.
O que se pede: calcular os três ângulos diedrais (ângulos entre as faces), isto é, os três ângulos entre pares de planos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: calcular os três ângulos diedrais (ângulos entre as faces), isto é, os três ângulos entre pares de planos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os ângulos das faces são
. - Pelo enunciado e pela simetria, os dois primeiros ângulos de face iguais indicam que dois diedros correspondentes serão iguais (os diedros opostos aos ângulos de face iguais serão iguais).
Passo 2
Idéia geométrica e correspondência com triângulo esférico (explicação didática e intuitiva).
- Coloca-se uma pequena esfera centrada no vértice do triedro; cada plano corta essa esfera numa grande circunferência. As três grandes circunferências formam na esfera um triângulo esférico.
- Nesse triângulo esférico:
- os comprimentos dos lados (medidos em ângulo, pois a esfera tem raio 1) são exatamente os ângulos de face do triedro (os arcos entre interseções das grandes circunferências correspondem aos ângulos planos de face),
- os ângulos interiores do triângulo esférico são exatamente os ângulos diedrais do triedro (o ângulo entre duas curvas de interseção na esfera é igual ao ângulo entre os planos que geraram essas grandes circunferências).
Portanto podemos resolver o problema traduzindo-o para um triângulo esférico cujos lados valeme cujos ângulos internos (esses são os diedros que queremos). Pela simetria . Vou chamar e .
Passo 3
Fórmulas de trigonometria esférica que vamos usar (explicação didática):
- Lei dos cossenos para ângulos (uma das fórmulas padrão da trigonometria esférica):
onde
é o lado oposto ao ângulo
, e
são os ângulos do triângulo esférico. Aqui todas as medidas estão em radianos ou graus, conforme convier; usaremos graus para manter coerência com o enunciado.
- Identificamos:
e .
Aplicando a fórmula ao ângulo
(lado oposto
) temos:
Agora manipulamos esta equação passo a passo para isolar uma relação útil.
Passo 4
Álgebra trigonométrica (passo a passo, com identidades):
Da equação do passo anterior:
Da equação do passo anterior:
Factorizando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo ângulos não degenerados):
Reconhecendo as identidades
e
(porque
e
), obtemos a relação simples:
Substituímos a expressão exata de
:
Agora escrevemos a equação para o ângulo
usando a mesma lei dos cossenos (com
e ângulo oposto
):
Esta é uma relação direta entre
e
. Substituímos
:
Resumo: temos a relação (1) que liga
e
e a relação (2) que também liga
e
. Vamos resolver essas duas equações simultaneamente. A estratégia prática: usar (1) para escrever
em função de
e inserir em (2), resolvendo numericamente para
. (Resolver algebricamente em forma fechada dá equações complicadas; a solução numérica é simples e adequada para a prova.)
Passo 5
Resolver numericamente (método direto e com contas mostradas).
Da equação (1),
Da equação (1),
Logo
ou, de forma mais direta e prática para cálculo,
Agora definimos a função de erro
e buscamos
tal que
.
Vamos avaliar
em dois valores próximos para achar um intervalo que contenha a raiz; calculos abaixo usam aproximações numéricas (mostradas passo a passo).
Constantes:
Avaliação em
:
-
. -
-
- RHS de (2):
- Assim
.
Avaliação em
:
-
(cálculo aproximado). -
-
- RHS de (2) com
: calcule e . Então RHS - Assim
.
Como
e
, existe uma raiz entre
e
. Fazemos uma interpolação linear simples para aproximar a raiz:
Substituindo valores:
Com essa
calculamos
via a fórmula (1):
Usando
:
-
(cálculo aproximado), -
, -
, logo .
Assim obtemos as soluções (arredondando a aproximadamente duas casas decimais):