Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo 30^{\circ}, 30^{\circ} e 45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá um triedro (triedro = reunião de três planos que se encontram numa aresta comum) cujas faces formam ângulos (ângulos de face, isto é, os ângulos planos entre arestas que se encontram no vértice) iguais a 30^\circ, 30^\circ e 45^\circ.
O que se pede: calcular os três ângulos diedrais (ângulos entre as faces), isto é, os três ângulos entre pares de planos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os ângulos das faces são \,30^\circ,\;30^\circ,\;45^\circ.
  • Pelo enunciado e pela simetria, os dois primeiros ângulos de face iguais indicam que dois diedros correspondentes serão iguais (os diedros opostos aos ângulos de face iguais serão iguais).

Passo 2

Idéia geométrica e correspondência com triângulo esférico (explicação didática e intuitiva).
  • Coloca-se uma pequena esfera centrada no vértice do triedro; cada plano corta essa esfera numa grande circunferência. As três grandes circunferências formam na esfera um triângulo esférico.
  • Nesse triângulo esférico:
    • os comprimentos dos lados (medidos em ângulo, pois a esfera tem raio 1) são exatamente os ângulos de face do triedro (os arcos entre interseções das grandes circunferências correspondem aos ângulos planos de face),
    • os ângulos interiores do triângulo esférico são exatamente os ângulos diedrais do triedro (o ângulo entre duas curvas de interseção na esfera é igual ao ângulo entre os planos que geraram essas grandes circunferências).
      Portanto podemos resolver o problema traduzindo-o para um triângulo esférico cujos lados valem \,a=30^\circ,\;b=30^\circ,\;c=45^\circ e cujos ângulos internos A,B,C (esses são os diedros que queremos). Pela simetria A=B. Vou chamar A=B=\alpha e C=\gamma.

Passo 3

Fórmulas de trigonometria esférica que vamos usar (explicação didática):
  • Lei dos cossenos para ângulos (uma das fórmulas padrão da trigonometria esférica):
\cos A = -\cos B\cos C + \sin B\sin C\cos a,
onde a é o lado oposto ao ângulo A, e A,B,C são os ângulos do triângulo esférico. Aqui todas as medidas estão em radianos ou graus, conforme convier; usaremos graus para manter coerência com o enunciado.
  • Identificamos: a=30^\circ,\;b=30^\circ,\;c=45^\circ e A=B=\alpha,\;C=\gamma.
Aplicando a fórmula ao ângulo A=\alpha (lado oposto a=30^\circ) temos:
\cos\alpha = -\cos\alpha\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma\cos(30^\circ).
Agora manipulamos esta equação passo a passo para isolar uma relação útil.

Passo 4

Álgebra trigonométrica (passo a passo, com identidades):
Da equação do passo anterior:
\cos\alpha + \cos\alpha\cos\gamma = \sin\alpha\sin\gamma\cos(30^\circ).
Factorizando:
\cos\alpha\,(1+\cos\gamma) = \sin\alpha\sin\gamma\cos(30^\circ).
Dividindo ambos os lados por \sin\alpha\sin\gamma (assumindo ângulos não degenerados):
\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{1+\cos\gamma}{\sin\gamma} = \cos(30^\circ).
Reconhecendo as identidades \cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} e \dfrac{1+\cos\gamma}{\sin\gamma}=\cot\!\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) (porque 1+\cos\gamma=2\cos^2\!\dfrac{\gamma}{2} e \sin\gamma=2\sin\!\dfrac{\gamma}{2}\cos\!\dfrac{\gamma}{2}), obtemos a relação simples:
\cot\alpha\cdot\cot\!\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)=\cos(30^\circ).
Substituímos a expressão exata de \cos(30^\circ):
\cot\alpha\cdot\cot\!\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \qquad(1)
Agora escrevemos a equação para o ângulo C=\gamma usando a mesma lei dos cossenos (com c=45^\circ e ângulo oposto C=\gamma):
\cos\gamma = -\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\cos(45^\circ).
Esta é uma relação direta entre \gamma e \alpha. Substituímos \cos(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
\cos\gamma = -\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \qquad(2)
Resumo: temos a relação (1) que liga \alpha e \gamma/2 e a relação (2) que também liga \alpha e \gamma. Vamos resolver essas duas equações simultaneamente. A estratégia prática: usar (1) para escrever \gamma em função de \alpha e inserir em (2), resolvendo numericamente para \alpha. (Resolver algebricamente em forma fechada dá equações complicadas; a solução numérica é simples e adequada para a prova.)

Passo 5

Resolver numericamente (método direto e com contas mostradas).
Da equação (1),
\cot\!\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\dfrac{1}{\cot\alpha} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan\alpha.
Logo
\dfrac{\gamma}{2}=\arctan\!\left(\dfrac{\cot\alpha}{\cos(30^\circ)}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{\cot\alpha}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right),
ou, de forma mais direta e prática para cálculo,
\gamma(\alpha)=2\arctan\!\left(\dfrac{\cot\alpha}{\cos(30^\circ)}\right).
Agora definimos a função de erro
G(\alpha)=\cos\big(\gamma(\alpha)\big)-\Big(-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\cos(45^\circ)\Big),
e buscamos \alpha tal que G(\alpha)=0.
Vamos avaliar G(\alpha) em dois valores próximos para achar um intervalo que contenha a raiz; calculos abaixo usam aproximações numéricas (mostradas passo a passo).
Constantes:
\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254,\qquad \cos(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071068.
Avaliação em \alpha=45^\circ:
  • \cot45^\circ=1.
  • \gamma(45^\circ)=2\arctan\!\left(\dfrac{1}{0{,}8660254}\right)=2\arctan(1{,}1547005)\approx 98{,}213^\circ.
  • \cos\big(\gamma(45^\circ)\big)\approx\cos(98{,}213^\circ)\approx -0{,}1450.
  • RHS de (2): -\cos^2 45^\circ+\sin^2 45^\circ\cos45^\circ = -\tfrac12 +\tfrac12\cdot0{,}7071068 \approx -0{,}1464466.
  • Assim G(45^\circ)\approx -0{,}1450 -(-0{,}1464466)=+0{,}00145.
Avaliação em \alpha=44{,}5^\circ:
  • \cot44{,}5^\circ\approx1{,}0181 (cálculo aproximado).
  • \gamma(44{,}5^\circ)=2\arctan\!\left(\dfrac{1{,}0181}{0{,}8660254}\right)\approx99{,}72^\circ.
  • \cos\big(\gamma(44{,}5^\circ)\big)\approx\cos(99{,}72^\circ)\approx -0{,}1663.
  • RHS de (2) com \alpha=44{,}5^\circ: calcule \cos44{,}5^\circ\approx0{,}7133 e \sin44{,}5^\circ\approx0{,}7009. Então RHS \approx -0{,}7133^2 +0{,}7009^2\cdot0{,}7071068 \approx -0{,}1614.
  • Assim G(44{,}5^\circ)\approx -0{,}1663 -(-0{,}1614)= -0{,}0049.
Como G(44{,}5^\circ)<0 e G(45^\circ)>0, existe uma raiz entre 44{,}5^\circ e 45^\circ. Fazemos uma interpolação linear simples para aproximar a raiz:
\alpha \approx 44{,}5^\circ + \frac{0 - G(44{,}5^\circ)}{G(45^\circ)-G(44{,}5^\circ)}\cdot(45^\circ-44{,}5^\circ).
Substituindo valores:
\alpha \approx 44{,}5 + \frac{0{,}0049}{0{,}00145+0{,}0049}\cdot0{,}5 \approx 44{,}8855^\circ.
Com essa \alpha calculamos \gamma via a fórmula (1):
\gamma = 2\arctan\!\left(\dfrac{\cot\alpha}{\cos(30^\circ)}\right).
Usando \alpha\approx 44{,}8855^\circ:
  • \cot\alpha\approx1{,}00396 (cálculo aproximado),
  • \dfrac{\cot\alpha}{\cos30^\circ}\approx\dfrac{1{,}00396}{0{,}8660254}\approx1{,}15937,
  • \arctan(1{,}15937)\approx49{,}295^\circ, logo \gamma\approx98{,}59^\circ.
Assim obtemos as soluções (arredondando a aproximadamente duas casas decimais):
\alpha=\beta\approx 44{,}89^\circ,\qquad \gamma\approx 98{,}59^\circ.

Resposta

\alpha=\beta\approx 44{,}89^\circ
\gamma\approx 98{,}59^\circ

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