No plano de cada face de um triedro conduz-se pelo vértice a perpendicular à aresta oposta. Prove que as três retas assim obtidas são coplanares.
Passo 1
Vou colocar letras e identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
- Seja
o vértice do triedro e sejam pontos sobre as três arestas que saem de . Assim as três faces do triedro são os planos , e . - No plano
traça-se por a reta perpendicular à aresta oposta dessa face (aresta ). Vou chamar essa reta de (o índice porque a aresta oposta à face é , oposta ao vértice no triângulo ). - Analogamente, no plano
traça-se por a reta perpendicular à aresta ; chamo-a . - E no plano
traça-se por a reta perpendicular à aresta ; chamo-a .
O que o problema pede:
- Provar que as três retas
, , (todas passam por ) são coplanares, ou seja, existe um único plano que contém simultaneamente , e .
Observação: para ficar claro na cabeça, cada
é a reta que passa por
e, dentro da face correspondente, é perpendicular à aresta dessa face que não contém
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Estratégia e notação vetorial (sem pular etapas).
- Vou usar coordenadas vetoriais com origem em
. Isso facilita porque todas as retas passam por , então direções de retas são vetores a partir da origem. - Denoto por
os vetores posição de a partir de . Ou seja, , , . - A aresta
corresponde ao vetor . Similarmente e . - Vou escrever um vetor que aponta na direção de cada reta
. Mostrar que esses três vetores-direção são coplanares equivale a mostrar que o produto misto (ou scalar triple product) deles é zero.
Lembrete de conceito (rápido e importante):
- Três vetores
são coplanares se e somente se o produto misto . Vou usar isso como teste final.
Passo 3
Encontrando um vetor-direção para a reta do plano
perpendicular a
(ou seja, direção de
).
- A reta
pertence ao plano determinado por e (o plano ). O vetor normal àquele plano é . - Uma direção no plano
que seja perpendicular a pode ser obtida tomando o produto vetorial do normal pelo vetor . Assim um vetor paralelo a é
- Para manipular
é útil usar a identidade vetorial
Aplicando com
,
,
(note que
, podemos trabalhar linearmente) obtemos, direta e explicitamente,
Mas
e
, portanto essa forma direta simplifica a manipulação através de outra aplicação da identidade: melhor escrever
usando a forma equivalente (aplicando a identidade com ordem conveniente):
Isto é, explicando cada termo:
- Essa expressão tem a vantagem de mostrar
é combinação linear de e , portanto realmente está no plano , e por construção é perpendicular a . Ela representa a direção da reta (qualquer múltiplo não-nulo serve).
Passo 4
Vetores-direção para as três retas (simetria).
- Repetindo o argumento do passo anterior por simetria, obtemos vetores-direção para
(reta em perpendicular a ) e para (reta em perpendicular a ):
- Cada
foi obtido pelo mesmo processo: tomar o produto vetorial do normal do plano pela aresta oposta e aplicar a identidade vetorial para escrever numa combinação das duas arestas do respectivo plano.
Resumo fino: temos as três direções
(todas passantes por
). Para concluir que as retas são coplanares precisamos provar que
.]
Passo 5
Cálculo do produto misto e simplificação com uma observação algébrica chave.
- Em geral fazer a expansão completa do produto misto com as expressões acima daria uma longa soma de termos; em vez disso vamos usar um truque algébrico ciclícico simples: a relação entre as arestas do triângulo
Ou de forma compacta,
- Essa identidade é simplesmente a soma das três diferenças e será usada para fazer cancelamentos quando aparecerem combinações do tipo
dentro de produtos mistos.
Agora aplico a ideia: considere os dois planos que são “planos através de
e perpendiculares às arestas”: o plano
que passa por
e é perpendicular a
; e o plano
que passa por
e é perpendicular a
. A interseção
é uma reta que tem direção
, onde
é paralelo a
e
paralelo a
. Assim a direção dessa interseção é proporcional a
Mas observe que
e
são vetores do mesmo plano
; portanto
é perpendicular a todo o plano
. Em particular, esse vetor é perpendicular também a
. É aqui que entra o cancelamento com a soma cíclica: como
, temos
porque
é ortogonal a cada um dos dois vetores
e
. Isso mostra, de forma clara e curta, que a interseção
é perpendicular a todas as três arestas
, isto é, é perpendicular ao plano
.
Passo 6
Interpretação geométrica do cálculo e conclusão da coplanaridade.
- Do passo anterior concluímos que as três “planos através de
e perpendiculares a ” têm interseções que coincidem na mesma reta: essa reta é exatamente a reta que sai de e é perpendicular ao plano (a reta-ortogonal a com origem em ). Denotemos essa reta por . - Logo os três planos
(cada um passagem por e perpendicular à respectiva aresta) contêm a mesma reta . - Fixemos agora um plano
que contenha a reta . (Como passa por , qualquer plano que contenha passa por .) Vou escolher precisamente como o plano que contém e, além disso, intercepta cada face do triedro numa reta que passa por e é perpendicular à aresta daquela face — esta escolha será justificada a seguir por unicidade.
Mostrar que a mesma
corta cada face
nas retas desejadas:
- A reta
(aquela em perpendicular a ) é única: no plano há exatamente uma reta por perpendicular a . Como é perpendicular a (vimos isso no passo 5), qualquer plano que contenha contém pelo menos uma reta por que é perpendicular a (essa reta é a interseção ). Por unicidade dessa reta perpendicular em , essa interseção obrigatoriamente coincide com . Assim . - O mesmo raciocínio funciona para as outras faces:
e . Em cada caso a interseção de (que contém ) com a face contém uma reta através de perpendicular à aresta da face, e por unicidade essa interseção é exatamente a reta pedida.
Portanto as três retas
são todas interseções da mesma superfície plana
com as três faces; consequentemente elas pertencem todas ao mesmo plano
. Ou seja, são coplanares.
(Resumo conceitual: as três “planos através de
e perpendiculares às arestas opostas” têm interseção comum
, a reta normal a
por
. Qualquer plano que contenha
corta cada face em uma reta por
perpendicular à aresta dessa face; por unicidade dessa perpendicular em cada face as três retas pedidas são exatamente essas interseções — portanto estão no mesmo plano.)
Resposta
As três retas são coplanares; existe um plano
que contém simultaneamente
.