No plano de cada face de um triedro conduz-se pelo vértice a perpendicular à aresta oposta. Prove que as três retas assim obtidas são coplanares.

Passo 1

Vou colocar letras e identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Seja O o vértice do triedro e sejam A,B,C pontos sobre as três arestas que saem de O. Assim as três faces do triedro são os planos OAB, OBC e OCA.
  • No plano OAB traça-se por O a reta perpendicular à aresta oposta dessa face (aresta AB). Vou chamar essa reta de r_c (o índice c porque a aresta oposta à face OAB é AB, oposta ao vértice C no triângulo ABC).
  • Analogamente, no plano OBC traça-se por O a reta perpendicular à aresta BC; chamo-a r_a.
  • E no plano OCA traça-se por O a reta perpendicular à aresta CA; chamo-a r_b.
O que o problema pede:
  • Provar que as três retas r_a, r_b, r_c (todas passam por O) são coplanares, ou seja, existe um único plano que contém simultaneamente r_a, r_b e r_c.
Observação: para ficar claro na cabeça, cada r_{\bullet} é a reta que passa por O e, dentro da face correspondente, é perpendicular à aresta dessa face que não contém O. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Estratégia e notação vetorial (sem pular etapas).
  • Vou usar coordenadas vetoriais com origem em O. Isso facilita porque todas as retas passam por O, então direções de retas são vetores a partir da origem.
  • Denoto por \vec a,\vec b,\vec c os vetores posição de A,B,C a partir de O. Ou seja, \vec{OA}=\vec a, \vec{OB}=\vec b, \vec{OC}=\vec c.
  • A aresta AB corresponde ao vetor \vec{AB}=\vec b-\vec a. Similarmente \vec{BC}=\vec c-\vec b e \vec{CA}=\vec a-\vec c.
  • Vou escrever um vetor que aponta na direção de cada reta r_a,r_b,r_c. Mostrar que esses três vetores-direção são coplanares equivale a mostrar que o produto misto (ou scalar triple product) deles é zero.
Lembrete de conceito (rápido e importante):
  • Três vetores \vec u,\vec v,\vec w são coplanares se e somente se o produto misto \big(\vec u\times\vec v\big)\cdot\vec w=0. Vou usar isso como teste final.

Passo 3

Encontrando um vetor-direção para a reta do plano OAB perpendicular a AB (ou seja, direção de r_c).
  • A reta r_c pertence ao plano determinado por \vec a e \vec b (o plano OAB). O vetor normal àquele plano é \vec a\times\vec b.
  • Uma direção no plano OAB que seja perpendicular a \vec{AB}=\vec b-\vec a pode ser obtida tomando o produto vetorial do normal pelo vetor \vec{AB}. Assim um vetor paralelo a r_c é
\vec u_c \;=\; (\vec a\times\vec b)\times(\vec b-\vec a).
  • Para manipular \vec u_c é útil usar a identidade vetorial
\vec p\times(\vec q\times\vec r)=\vec q\,(\vec p\cdot\vec r)-\vec r\,(\vec p\cdot\vec q).
Aplicando com \vec p=\vec a\times\vec b, \vec q=\vec b, \vec r=\vec a (note que \vec b-\vec a=\vec b+(-\vec a), podemos trabalhar linearmente) obtemos, direta e explicitamente,
\vec u_c = (\vec a\times\vec b)\times(\vec b-\vec a) = \vec b\big((\vec a\times\vec b)\cdot(-\vec a)\big) - \vec a\big((\vec a\times\vec b)\cdot\vec b\big).
Mas (\vec a\times\vec b)\cdot\vec a=0 e (\vec a\times\vec b)\cdot\vec b=0, portanto essa forma direta simplifica a manipulação através de outra aplicação da identidade: melhor escrever \vec u_c usando a forma equivalente (aplicando a identidade com ordem conveniente):
\vec u_c = \vec b\,(\vec a\cdot(\vec b-\vec a)) - \vec a\,(\vec b\cdot(\vec b-\vec a)).
Isto é, explicando cada termo:
\vec u_c \;=\; \vec b\big(\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec a\big)\;-\;\vec a\big(\vec b\cdot\vec b-\vec b\cdot\vec a\big).
  • Essa expressão tem a vantagem de mostrar \vec u_c é combinação linear de \vec a e \vec b, portanto realmente está no plano OAB, e por construção é perpendicular a \vec b-\vec a. Ela representa a direção da reta r_c (qualquer múltiplo não-nulo serve).

Passo 4

Vetores-direção para as três retas (simetria).
  • Repetindo o argumento do passo anterior por simetria, obtemos vetores-direção para r_a (reta em OBC perpendicular a BC) e para r_b (reta em OCA perpendicular a CA):
\begin{aligned} \vec u_a &= \vec c\big(\vec b\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec b\big) - \vec b\big(\vec c\cdot\vec c-\vec c\cdot\vec b\big),\\[4pt] \vec u_b &= \vec a\big(\vec c\cdot\vec a-\vec c\cdot\vec c\big) - \vec c\big(\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec c\big). \end{aligned}
  • Cada \vec u_{\bullet} foi obtido pelo mesmo processo: tomar o produto vetorial do normal do plano pela aresta oposta e aplicar a identidade vetorial para escrever numa combinação das duas arestas do respectivo plano.
Resumo fino: temos as três direções \vec u_a,\vec u_b,\vec u_c (todas passantes por O). Para concluir que as retas são coplanares precisamos provar que \big(\vec u_a\times\vec u_b\big)\cdot\vec u_c=0.]

Passo 5

Cálculo do produto misto e simplificação com uma observação algébrica chave.
  • Em geral fazer a expansão completa do produto misto com as expressões acima daria uma longa soma de termos; em vez disso vamos usar um truque algébrico ciclícico simples: a relação entre as arestas do triângulo ABC
(\vec b-\vec a) + (\vec c-\vec b) + (\vec a-\vec c) = \vec 0.
Ou de forma compacta,
\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec 0.
  • Essa identidade é simplesmente a soma das três diferenças e será usada para fazer cancelamentos quando aparecerem combinações do tipo (\vec b-\vec a),(\vec c-\vec b),(\vec a-\vec c) dentro de produtos mistos.
Agora aplico a ideia: considere os dois planos que são “planos através de O e perpendiculares às arestas”: o plano \Pi_{AB} que passa por O e é perpendicular a \vec{AB}; e o plano \Pi_{BC} que passa por O e é perpendicular a \vec{BC}. A interseção \Pi_{AB}\cap\Pi_{BC} é uma reta que tem direção \vec{n}_{AB}\times\vec{n}_{BC}, onde \vec{n}_{AB} é paralelo a \vec{AB} e \vec{n}_{BC} paralelo a \vec{BC}. Assim a direção dessa interseção é proporcional a
(\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec b).
Mas observe que (\vec b-\vec a) e (\vec c-\vec b) são vetores do mesmo plano ABC; portanto
\big((\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec b)\big)
é perpendicular a todo o plano ABC. Em particular, esse vetor é perpendicular também a \vec a-\vec c. É aqui que entra o cancelamento com a soma cíclica: como \vec a-\vec c=(\vec a-\vec b)+(\vec b-\vec c), temos
\big((\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec b)\big)\cdot(\vec a-\vec c) = \big((\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec b)\big)\cdot\big((\vec b-\vec a)+(\vec c-\vec b)\big)=0,
porque (\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec b) é ortogonal a cada um dos dois vetores (\vec b-\vec a) e (\vec c-\vec b). Isso mostra, de forma clara e curta, que a interseção \Pi_{AB}\cap\Pi_{BC} é perpendicular a todas as três arestas \vec{AB},\vec{BC},\vec{CA}, isto é, é perpendicular ao plano ABC.

Passo 6

Interpretação geométrica do cálculo e conclusão da coplanaridade.
  • Do passo anterior concluímos que as três “planos através de O e perpendiculares a \vec{AB},\vec{BC},\vec{CA}” têm interseções que coincidem na mesma reta: essa reta é exatamente a reta que sai de O e é perpendicular ao plano ABC (a reta-ortogonal a ABC com origem em O). Denotemos essa reta por p.
  • Logo os três planos \Pi_{AB},\Pi_{BC},\Pi_{CA} (cada um passagem por O e perpendicular à respectiva aresta) contêm a mesma reta p.
  • Fixemos agora um plano \Sigma que contenha a reta p. (Como p passa por O, qualquer plano \Sigma que contenha p passa por O.) Vou escolher precisamente \Sigma como o plano que contém p e, além disso, intercepta cada face do triedro numa reta que passa por O e é perpendicular à aresta daquela face — esta escolha será justificada a seguir por unicidade.
Mostrar que a mesma \Sigma corta cada face OAB,OBC,OCA nas retas desejadas:
  • A reta r_c (aquela em OAB perpendicular a AB) é única: no plano OAB há exatamente uma reta por O perpendicular a AB. Como p é perpendicular a AB (vimos isso no passo 5), qualquer plano \Sigma que contenha p contém pelo menos uma reta por O que é perpendicular a AB (essa reta é a interseção \Sigma\cap OAB). Por unicidade dessa reta perpendicular em OAB, essa interseção obrigatoriamente coincide com r_c. Assim \Sigma\cap OAB=r_c.
  • O mesmo raciocínio funciona para as outras faces: \Sigma\cap OBC=r_a e \Sigma\cap OCA=r_b. Em cada caso a interseção de \Sigma (que contém p) com a face contém uma reta através de O perpendicular à aresta da face, e por unicidade essa interseção é exatamente a reta pedida.
Portanto as três retas r_a,r_b,r_c são todas interseções da mesma superfície plana \Sigma com as três faces; consequentemente elas pertencem todas ao mesmo plano \Sigma. Ou seja, são coplanares.
(Resumo conceitual: as três “planos através de O e perpendiculares às arestas opostas” têm interseção comum p, a reta normal a ABC por O. Qualquer plano que contenha p corta cada face em uma reta por O perpendicular à aresta dessa face; por unicidade dessa perpendicular em cada face as três retas pedidas são exatamente essas interseções — portanto estão no mesmo plano.)

Resposta

As três retas são coplanares; existe um plano \Sigma que contém simultaneamente r_a,r_b,r_c.

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