Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo
.
Passo 1
O enunciado: “Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo
.”
O que isso dá e o que pede:
- Foi dado que o triedro tem as três “faces” (os ângulos planos entre arestas no vértice) todas iguais a
. Ou seja, os três ângulos de face são
- O que se pede é cada ângulo diedral entre duas das faces (há três ângulos diedrais; pelo simetria eles serão iguais). Vou chamar o ângulo diedral correspondente à aresta oposta ao vértice definido pela diretriz
de . Em palavras simples: quero o ângulo entre os planos formados por e .
Passo 2
Modelo geométrico e definições (passo didático):
- Imagine três semirretas unitárias
partindo do mesmo ponto (o vértice do triedro). Os ângulos entre pares dessas semirretas são os ângulos de face do triedro: -
é o ângulo entre e (logo ); -
é o ângulo entre e (logo ); -
é o ângulo entre e (logo ).
-
- O ângulo diedral ao redor da aresta na direção
é o ângulo entre as normais aos planos e . Essas normais (com sinal) podem ser tomadas como e (normalizados depois).
Explicando rápido (sem pular passos): o produto vetorial
é um vetor perpendicular ao plano contendo
e
; portanto o cosseno do ângulo diedral é o cosseno do ângulo entre
e
, ou seja o produto escalar entre
e
dividido pelos seus módulos.
Passo 3
Escrever o cosseno do ângulo diedral em termos dos vetores:
Agora uso uma identidade vetorial (muito útil e comum em problemas assim):
Breve justificativa dessa identidade: expandindo usando componentes ou usando a fórmula do produto misto e propriedades do produto escalar chega-se a essa igualdade; aqui a estou usando como ferramenta padrão.
Como
foram escolhidos unitários,
. Substituindo com as relações das medidas dos ângulos entre vetores, temos
Também, para vetores unitários,
e
. Portanto a fórmula final para o cosseno do diedro ao redor de
é
Essa é uma fórmula padrão que relaciona ângulos de face
com o diedro
correspondente.
Passo 4
Aplicar ao caso simétrico
.
Primeiro calcule os senos e cossenos básicos:
Substituindo na fórmula:
Agora fazemos as contas passo a passo:
Simplificando:
Passo 5
Interpretação e valor numérico:
- A expressão fechada é
- Verificando que o valor está no intervalo
: numericamente , portanto válido. - O ângulo diedral comum é
Em graus isso dá aproximadamente
(arredondado uma casa).
Um comentário amigo: então, mesmo que as faces sejam muito “fechadas” (
), os planos entre essas faces formam diedros mais abertos, cerca de
. Tá ficando bom — um passo de cada vez e você segura isso na prova!