Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo 30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado: “Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo 30^\circ.”
O que isso dá e o que pede:
  • Foi dado que o triedro tem as três “faces” (os ângulos planos entre arestas no vértice) todas iguais a \,30^\circ. Ou seja, os três ângulos de face são
A=B=C=30^\circ.
  • O que se pede é cada ângulo diedral entre duas das faces (há três ângulos diedrais; pelo simetria eles serão iguais). Vou chamar o ângulo diedral correspondente à aresta oposta ao vértice definido pela diretriz a de \Phi. Em palavras simples: quero o ângulo entre os planos formados por (a,b) e (a,c).

Passo 2

Modelo geométrico e definições (passo didático):
  • Imagine três semirretas unitárias a,b,c partindo do mesmo ponto (o vértice do triedro). Os ângulos entre pares dessas semirretas são os ângulos de face do triedro:
    • A é o ângulo entre b e c (logo b\cdot c=\cos A);
    • B é o ângulo entre c e a (logo c\cdot a=\cos B);
    • C é o ângulo entre a e b (logo a\cdot b=\cos C).
  • O ângulo diedral ao redor da aresta na direção a é o ângulo entre as normais aos planos (a,b) e (a,c). Essas normais (com sinal) podem ser tomadas como n_{ab}=a\times b e n_{ac}=a\times c (normalizados depois).
Explicando rápido (sem pular passos): o produto vetorial a\times b é um vetor perpendicular ao plano contendo a e b; portanto o cosseno do ângulo diedral é o cosseno do ângulo entre a\times b e a\times c, ou seja o produto escalar entre n_{ab} e n_{ac} dividido pelos seus módulos.

Passo 3

Escrever o cosseno do ângulo diedral em termos dos vetores:
\cos\Phi=\frac{(a\times b)\cdot (a\times c)}{|a\times b|\;|a\times c|}.
Agora uso uma identidade vetorial (muito útil e comum em problemas assim):
(a\times b)\cdot (a\times c)=(a\cdot a)(b\cdot c)-(a\cdot b)(a\cdot c).
Breve justificativa dessa identidade: expandindo usando componentes ou usando a fórmula do produto misto e propriedades do produto escalar chega-se a essa igualdade; aqui a estou usando como ferramenta padrão.
Como a,b,c foram escolhidos unitários, a\cdot a=1. Substituindo com as relações das medidas dos ângulos entre vetores, temos
(a\times b)\cdot (a\times c)=\cos A - \cos B\cos C.
Também, para vetores unitários, |a\times b|=\sin(\text{ângulo entre }a,b)=\sin Câ e |a\times c|=\sin B. Portanto a fórmula final para o cosseno do diedro ao redor de a é
\boxed{\displaystyle \cos\Phi=\frac{\cos A-\cos B\cos C}{\sin B\sin C}.}
Essa é uma fórmula padrão que relaciona ângulos de face A,B,C com o diedro \Phi correspondente.

Passo 4

Aplicar ao caso simétrico A=B=C=30^\circ.
Primeiro calcule os senos e cossenos básicos:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
Substituindo na fórmula:
\cos\Phi=\frac{\cos 30^\circ-\cos 30^\circ\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ\sin 30^\circ} =\frac{\cos 30^\circ\bigl(1-\cos 30^\circ\bigr)}{\sin^2 30^\circ}.
Agora fazemos as contas passo a passo:
\cos\Phi=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigl(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} =4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigl(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Simplificando:
\cos\Phi=2\sqrt{3}\Bigl(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=2\sqrt{3}-3.

Passo 5

Interpretação e valor numérico:
  • A expressão fechada é
\cos\Phi=2\sqrt{3}-3.
  • Verificando que o valor está no intervalo [-1,1]: numericamente 2\sqrt{3}-3\approx 0{,}4641016, portanto válido.
  • O ângulo diedral comum é
\Phi=\operatorname{arccos}\bigl(2\sqrt{3}-3\bigr).
Em graus isso dá aproximadamente \Phi\approx 62{,}2^\circ (arredondado uma casa).
Um comentário amigo: então, mesmo que as faces sejam muito “fechadas” ( 30^\circ), os planos entre essas faces formam diedros mais abertos, cerca de 62^\circ. Tá ficando bom — um passo de cada vez e você segura isso na prova!

Resposta

\Phi=\operatorname{arccos}\bigl(2\sqrt{3}-3\bigr)\approx 62{,}2^\circ

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