Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular os três ângulos diedros de um triedro (ângulos entre os pares de faces) sabendo que as três faces formam, no vértice, ângulos (entre arestas) iguais a
,
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os ângulos das faces no vértice são
, e .
Pergunta: determinar os três ângulos diedros (vou chamar de, e ), onde é o diedro oposto à face com ângulo , oposto a e oposto a .
Passo 2
Ideia geométrica (explicação didática do que usaremos).
- Considere uma esfera de raio 1 centrada no vértice do triedro. Cada plano da face corta a esfera em um grande círculo; as interseções desses três grandes círculos determinam um triângulo esférico.
- Nesse triângulo esférico: os comprimentos dos lados (medidos em radianos ao longo dos grandes círculos) são exatamente os ângulos das faces
(pois são ângulos entre as direções das arestas), e os ângulos interiores do triângulo esférico estão relatedos aos ângulos diedros do triedro. Especificamente, o ângulo interior do triângulo esférico correspondente a um vértice é igual a quando é o diedro entre as faces que se encontram naquele vértice. (Não se assuste: por construção geométrica o ângulo esférico é o suplemento do diedro.) - Assim podemos usar trigonometria esférica: os lados do triângulo esférico são
e os ângulos esféricos são . Vamos aplicar a fórmula de cosenos esféricos para os lados e isolar .
Passo 3
Fórmula que vamos usar (derivada da lei dos cossenos esférica). Para um triângulo esférico com lados
e ângulo esférico oposto a
igual a
, vale
No nosso caso
, e
. Substituindo:
Rearranjando para
obtemos a fórmula prática
Analogamente, ciclicamente,
Agora vamos aplicar essas fórmulas com
. Vou trabalhar com valores exatos de seno e cosseno antes de aproximar numericamente.
Passo 4
Cálculo de
.
Valores exatos:
Substituindo na fórmula
Calculemos passo a passo:
Dividindo,
Esse é um valor negativo (como esperado), avaliado numericamente:
Logo
Passo 5
Cálculo de
.
Usando a fórmula
Calcule passo a passo:
Dividindo,
Numericamente,
Portanto
Passo 6
Cálculo de
.
Usando a fórmula
Passo a passo:
Dividindo,
Numericamente,
Logo
Passo 7
Resumo e verificação rápida (motivação): os três valores são consistentes com as fórmulas e seus sinais; são números entre
e
como deve ser um ângulo diedro. Não é surpreendente que dois sejam obtusos e um seja agudo dado que as faces são bastante variadas.