Calcule os ângulos diedrais de um triedro com faces medindo 30^{\circ}, 45^{\circ} e 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular os três ângulos diedros de um triedro (ângulos entre os pares de faces) sabendo que as três faces formam, no vértice, ângulos (entre arestas) iguais a 30^\circ, 45^\circ e 60^\circ.
Informações dadas:
  • Os ângulos das faces no vértice são a=30^\circ, b=45^\circ e c=60^\circ.
    Pergunta: determinar os três ângulos diedros (vou chamar de A, B e C), onde A é o diedro oposto à face com ângulo a, B oposto a b e C oposto a c.

Passo 2

Ideia geométrica (explicação didática do que usaremos).
  • Considere uma esfera de raio 1 centrada no vértice do triedro. Cada plano da face corta a esfera em um grande círculo; as interseções desses três grandes círculos determinam um triângulo esférico.
  • Nesse triângulo esférico: os comprimentos dos lados (medidos em radianos ao longo dos grandes círculos) são exatamente os ângulos das faces a,b,c (pois são ângulos entre as direções das arestas), e os ângulos interiores do triângulo esférico estão relatedos aos ângulos diedros do triedro. Especificamente, o ângulo interior do triângulo esférico correspondente a um vértice é igual a \pi-A quando A é o diedro entre as faces que se encontram naquele vértice. (Não se assuste: por construção geométrica o ângulo esférico é o suplemento do diedro.)
  • Assim podemos usar trigonometria esférica: os lados do triângulo esférico são a,b,c e os ângulos esféricos são \pi-A,\\ \pi-B,\\ \pi-C. Vamos aplicar a fórmula de cosenos esféricos para os lados e isolar \cos A,\cos B,\cos C.

Passo 3

Fórmula que vamos usar (derivada da lei dos cossenos esférica). Para um triângulo esférico com lados a,b,c e ângulo esférico oposto a a igual a \alpha, vale
\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos\alpha.
No nosso caso \alpha=\pi-A, e \cos(\pi-A)=-\cos A. Substituindo:
\cos a=\cos b\cos c-\sin b\sin c\cos A.
Rearranjando para \cos A obtemos a fórmula prática
\cos A=\frac{\cos b\cos c-\cos a}{\sin b\sin c}.
Analogamente, ciclicamente,
\cos B=\frac{\cos c\cos a-\cos b}{\sin c\sin a},\qquad \cos C=\frac{\cos a\cos b-\cos c}{\sin a\sin b}.
Agora vamos aplicar essas fórmulas com a=30^\circ,\\ b=45^\circ,\\ c=60^\circ. Vou trabalhar com valores exatos de seno e cosseno antes de aproximar numericamente.

Passo 4

Cálculo de \cos A.
Valores exatos:
\cos a=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos b=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos c=\cos 60^\circ=\frac{1}{2},
\sin a=\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \sin b=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin c=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo na fórmula
\cos A=\frac{\cos b\cos c-\cos a}{\sin b\sin c} =\frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{4}, \qquad \text{denominador}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Dividindo,
\cos A=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} =\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{2}.
Esse é um valor negativo (como esperado), avaliado numericamente:
\cos A=\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{2}\approx -0,836863293.
Logo
A=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{2}\right)\approx 146,83^\circ.

Passo 5

Cálculo de \cos B.
Usando a fórmula
\cos B=\frac{\cos c\cos a-\cos b}{\sin c\sin a} =\frac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}}.
Calcule passo a passo:
\text{numerador}=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{4}, \qquad \text{denominador}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Dividindo,
\cos B=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=1-2\sqrt{\frac{2}{3}}.
Numericamente,
\cos B=1-2\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx -0,632993162.
Portanto
B=\operatorname{arccos}\!\left(1-2\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)\approx 129,23^\circ.

Passo 6

Cálculo de \cos C.
Usando a fórmula
\cos C=\frac{\cos a\cos b-\cos c}{\sin a\sin b} =\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Passo a passo:
\text{numerador}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-2}{4}, \qquad \text{denominador}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Dividindo,
\cos C=\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}.
Numericamente,
\cos C=\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx 0,317837246.
Logo
C=\operatorname{arccos}\!\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\approx 71,53^\circ.

Passo 7

Resumo e verificação rápida (motivação): os três valores são consistentes com as fórmulas e seus sinais; são números entre 0^\circ e 180^\circ como deve ser um ângulo diedro. Não é surpreendente que dois sejam obtusos e um seja agudo dado que as faces são bastante variadas.

Resposta

A=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{2}\right)\approx 146,83^\circ
B=\operatorname{arccos}\!\left(1-2\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)\approx 129,23^\circ
C=\operatorname{arccos}\!\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\approx 71,53^\circ

Exercícios relacionados