Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelos pontos P_{0} e P_{1}, abaixo.
P_{0}=(2,1) e P_{1}=(-3,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa por P_{0}=(2,1) e P_{1}=(-3,2). O conteúdo é geometria analítica no plano: vamos precisar do vetor direção da reta e em seguida obter a forma vetorial e a forma geral (a x+b y+c =0).

Passo 2

O vetor direção \vec d é dado por
\vec d = P_{1} - P_{0} = (-3-2,\;2-1)=(-5,1).
A equação vetorial da reta, tomando P_{0} como ponto de apoio e t\in\mathbb{R}, é
\vec r = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix}-5\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter a forma geral, notamos que um vetor normal é \vec n=(1,5), pois \vec n\cdot\vec d=1\cdot(-5)+5\cdot1=0. Usando P_{0}=(2,1), a equação \vec n\cdot\bigl((x,y)-P_{0}\bigr)=0
1\,(x-2)+5\,(y-1)=0
que se expande para
x -2 +5y -5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x +5y -7 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix}-5\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
x + 5y - 7 = 0.

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