Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelos pontos P_{0} e P_{1}, abaixo.
P_{0}=(-2,4) e P_{1}=(4,-2)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa por P_{0}=(-2,4) e P_{1}=(4,-2). O conteúdo é geometria analítica: primeiro montamos a equação vetorial usando um vetor diretor e depois obtemos a equação geral (forma ax+by+c=0) encontrando um vetor normal à reta.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor \vec v como diferença entre os pontos:
\vec v = P_{1}-P_{0} = (4,-2)-(-2,4) = (4+2,\;-2-4) = (6,-6).

Passo 3

A equação vetorial da reta, tomando como ponto de apoio P_{0}, é
\vec r = \vec r_{0} + t\,\vec v,
onde \vec r_{0}=(-2,4) e \vec v=(6,-6). Logo,
\vec r = (-2,4) + t\,(6,-6),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para obter a equação geral, precisamos de um vetor normal \vec n=(a,b) perpendicular a \vec v. Como
\vec n\cdot\vec v = a\cdot6 + b\cdot(-6)=0,
uma escolha simples é a=6 e b=6, pois 6\cdot6 + 6\cdot(-6)=0. Então a forma geral é
6x + 6y + c = 0.
Para achar c, usamos P_{0}(-2,4):
6\cdot(-2) + 6\cdot4 + c = 0 \;\Longrightarrow\;-12+24+c=0\;\Longrightarrow\;c=-12.

Passo 5

Substituindo c temos
6x + 6y -12 = 0.
Dividindo tudo por 6 (para simplificar) obtemos a forma mais enxuta:
x + y -2 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec r = (-2,4) + t\,(6,-6),\quad t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
x + y - 2 = 0.

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