Calcule os ângulos entre os planos diagonais (planos determinados pelas arestas opostas) do paralelepípedo em que quatro vértices consecutivos são O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0) e C(0,1,1).
Passo 1
O enunciado dá quatro vértices consecutivos do paralelepípedo:
O(0,0,0),\; A(1,0,0),\; B(1,1,0),\; C(0,1,1).
Pede-se: calcular os ângulos entre os planos diagonais do paralelepípedo, isto é, os ângulos entre os planos que são determinados por pares de arestas opostas. Listei as informações relevantes:
Não há figura extra; usarei esses pontos para determinar os vetores geradores do paralelepípedo e, a partir deles, os planos diagonais e os ângulos entre eles.
Passo 2
Vou identificar os vetores geradores do paralelepípedo a partir dos pontos dados. Como O é a origem, o vetor \vec{OA} é um gerador, e A a B nos dá outro gerador. Defino:
\vec{u}=\overrightarrow{OA}=A-O=(1,0,0),
\vec{v}=\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1,0).
Para obter o terceiro gerador \vec{w}, observo que C pode ser escrito usando \vec{v} e \vec{w}. Se o paralelepípedo for gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}, então o vértice correspondente a \vec{v}+\vec{w} é C. Assim
Explico o que são os “planos diagonais (determinados pelas arestas opostas)”. Para cada direção de aresta (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) há um plano que contém uma aresta numa posição e a aresta oposta paralela a ela; esse plano é gerado pelo próprio vetor de aresta e pelo vetor que liga uma aresta à sua oposta. Concretamente:
Plano associado a \vec{u}: é o plano gerado por \vec{u} e pelo vetor \vec{v}+\vec{w} (veja que \vec{v}+\vec{w} liga um ponto da aresta em O à aresta oposta).
Plano associado a \vec{v}: é gerado por \vec{v} e por \vec{u}+\vec{w}.
Plano associado a \vec{w}: é gerado por \vec{w} e por \vec{u}+\vec{v}.
Para calcular o ângulo entre dois planos usamos o ângulo entre seus vetores normais. Se um plano é gerado por \vec{a} e \vec{b}, um normal é \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}. O ângulo \theta entre dois planos é o ângulo entre seus normais \vec{n}_1 e \vec{n}_2, dado por
(Observação: esse \theta pode ser obtido como um ângulo entre 0^\circ e 180^\circ; frequentemente toma-se o ângulo agudo entre planos, que é \min(\theta,180^\circ-\theta).)
Passo 4
Calculo explicitamente os vetores normais dos três planos diagonais usando produtos vetoriais.
Plano associado a \vec{u}: vetores geradores \vec{u} e \vec{v}+\vec{w}. Então
Portanto todas as três combinações dão o mesmo valor (simetria esperada).
Resposta
Entre os planos diagonais: 60^\circ (ângulo agudo entre quaisquer dois desses planos).
Entre os planos diagonais: 120^\circ (ângulo entre normais; alternativa, se tomar o ângulo suplementar).