Calcule os ângulos entre os planos diagonais (planos determinados pelas arestas opostas) do paralelepípedo em que quatro vértices consecutivos são O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0) e C(0,1,1).

Passo 1

O enunciado dá quatro vértices consecutivos do paralelepípedo:
O(0,0,0),\; A(1,0,0),\; B(1,1,0),\; C(0,1,1).
Pede-se: calcular os ângulos entre os planos diagonais do paralelepípedo, isto é, os ângulos entre os planos que são determinados por pares de arestas opostas. Listei as informações relevantes:
\text{Pontos: } O(0,0,0),\; A(1,0,0),\; B(1,1,0),\; C(0,1,1).
Não há figura extra; usarei esses pontos para determinar os vetores geradores do paralelepípedo e, a partir deles, os planos diagonais e os ângulos entre eles.

Passo 2

Vou identificar os vetores geradores do paralelepípedo a partir dos pontos dados. Como O é a origem, o vetor \vec{OA} é um gerador, e A a B nos dá outro gerador. Defino:
\vec{u}=\overrightarrow{OA}=A-O=(1,0,0),
\vec{v}=\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1,0).
Para obter o terceiro gerador \vec{w}, observo que C pode ser escrito usando \vec{v} e \vec{w}. Se o paralelepípedo for gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}, então o vértice correspondente a \vec{v}+\vec{w} é C. Assim
\vec{v}+\vec{w}=C-O=(0,1,1)\implies \vec{w}=(0,1,1)-\vec{v}=(0,1,1)-(0,1,0)=(0,0,1).
Portanto:
\vec{u}=(1,0,0),\quad \vec{v}=(0,1,0),\quad \vec{w}=(0,0,1).

Passo 3

Explico o que são os “planos diagonais (determinados pelas arestas opostas)”. Para cada direção de aresta ( \vec{u},\vec{v},\vec{w}) há um plano que contém uma aresta numa posição e a aresta oposta paralela a ela; esse plano é gerado pelo próprio vetor de aresta e pelo vetor que liga uma aresta à sua oposta. Concretamente:
  • Plano associado a \vec{u}: é o plano gerado por \vec{u} e pelo vetor \vec{v}+\vec{w} (veja que \vec{v}+\vec{w} liga um ponto da aresta em O à aresta oposta).
  • Plano associado a \vec{v}: é gerado por \vec{v} e por \vec{u}+\vec{w}.
  • Plano associado a \vec{w}: é gerado por \vec{w} e por \vec{u}+\vec{v}.
Para calcular o ângulo entre dois planos usamos o ângulo entre seus vetores normais. Se um plano é gerado por \vec{a} e \vec{b}, um normal é \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}. O ângulo \theta entre dois planos é o ângulo entre seus normais \vec{n}_1 e \vec{n}_2, dado por
\cos\theta=\frac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{\|\vec{n}_1\|\|\vec{n}_2\|}.
(Observação: esse \theta pode ser obtido como um ângulo entre 0^\circ e 180^\circ; frequentemente toma-se o ângulo agudo entre planos, que é \min(\theta,180^\circ-\theta).)

Passo 4

Calculo explicitamente os vetores normais dos três planos diagonais usando produtos vetoriais.
Plano associado a \vec{u}: vetores geradores \vec{u} e \vec{v}+\vec{w}. Então
\vec{n}_u=\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=(1,0,0)\times(0,1,1).
Faço o produto vetorial passo a passo (regra do determinante):
\vec{n}_u=\bigl(0\cdot1-0\cdot1,\;0\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot1-0\cdot0\bigr)=(0,-1,1).
Plano associado a \vec{v}: vetores geradores \vec{v} e \vec{u}+\vec{w}. Então
\vec{n}_v=\vec{v}\times(\vec{u}+\vec{w})=(0,1,0)\times(1,0,1).
Calculando:
\vec{n}_v=\bigl(1\cdot1-0\cdot0,\;0\cdot1-0\cdot1,\;0\cdot0-1\cdot1\bigr)=(1,0,-1).
Plano associado a \vec{w}: vetores geradores \vec{w} e \vec{u}+\vec{v}. Então
\vec{n}_w=\vec{w}\times(\vec{u}+\vec{v})=(0,0,1)\times(1,1,0).
Calculando:
\vec{n}_w=\bigl(0\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot1-0\cdot0,\;0\cdot1-0\cdot1\bigr)=(-1,1,0).

Passo 5

Agora calculo o ângulo entre dois desses planos, usando o produto escalar entre os normais. Começo por \vec{n}_u e \vec{n}_v.
Produto escalar:
\vec{n}_u\cdot\vec{n}_v=(0)(1)+(-1)(0)+(1)(-1)=-1.
Normas:
\|\vec{n}_u\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2},\qquad \|\vec{n}_v\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
Portanto
\cos\theta_{uv}=\frac{\vec{n}_u\cdot\vec{n}_v}{\|\vec{n}_u\|\|\vec{n}_v\|}=\frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{-1}{2}.
Assim
\theta_{uv}=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=120^\circ.
Se quisermos o ângulo agudo entre planos (convenção frequente), tomamos 180^\circ-120^\circ=60^\circ.

Passo 6

Faço as contas entre as outras pares para confirmar a simetria (mas já se antecipa que serão iguais por simetria do caso):
Entre \vec{n}_v e \vec{n}_w:
\vec{n}_v\cdot\vec{n}_w=(1)(-1)+0\cdot1+(-1)\cdot0=-1,
\|\vec{n}_v\|=\sqrt{2},\quad \|\vec{n}_w\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2},
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\cos\theta_{vw}=\frac{-1}{2}\implies \theta_{vw}=120^\circ,
ângulo agudo correspondente 60^\circ.
Entre \vec{n}_w e \vec{n}_u:
\vec{n}_w\cdot\vec{n}_u=(-1)\cdot0+1\cdot(-1)+0\cdot1=-1,
normas iguais \sqrt{2}, então
\cos\theta_{wu}=\frac{-1}{2}\implies \theta_{wu}=120^\circ,
ângulo agudo 60^\circ.
Portanto todas as três combinações dão o mesmo valor (simetria esperada).

Resposta

Entre os planos diagonais: 60^\circ (ângulo agudo entre quaisquer dois desses planos).
Entre os planos diagonais: 120^\circ (ângulo entre normais; alternativa, se tomar o ângulo suplementar).

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