(2.5) Seja
dada por
.
(a) Encontre os pontos críticos e valores críticos de
.
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Calcule, se existir, os pontos de máximo e mínimo.
(d) Estude a concavidade da função.
(a) Encontre os pontos críticos e valores críticos de
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Calcule, se existir, os pontos de máximo e mínimo.
(d) Estude a concavidade da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
E pede quatro coisas:
- (a) Encontrar os pontos críticos e os valores críticos de
. - (b) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
- (c) Calcular, se existirem, pontos de máximo e mínimo (locais ou absolutos).
- (d) Estudar a concavidade da função (onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
. Não há restrição de domínio além de
. A resolução começará calculando derivadas para tratar dos itens (a)-(d).
Passo 2
Primeiro precisamos da derivada
, porque pontos críticos e crescimento/decrescimento vêm do sinal de
.
Lembrete rápido (aula-mini): a derivada mede a inclinação da curva. Para produtos usamos a regra do produto: se
e
são funções,
. Aqui
e
.
-
. - Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de é (porque derivada de é ).
Aplicando a regra do produto:
Colocando fator comum
:
Aqui cada símbolo significa:
é a exponencial (sempre positiva), e
é um fator linear que controla o sinal de
.
Passo 3
Agora encontraremos os pontos críticos: são os
onde
ou onde
é indefinida. Como
está definido para todo
, procuramos onde
.
Resolva
Observação importante:
para todo
. Portanto a única solução vem de
Esse é o único ponto crítico.
Agora o valor crítico (a imagem de
nesse ponto): calcule
:
Passo 4
Determinar intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de
.
Como
sempre, o sinal de
é o mesmo do fator
.
-
. Nessa região , então é decrescente. -
. Nessa região , então é crescente.
Resumo:
(Aqui usamos o teste da primeira derivada: sinal negativo da derivada → função decresce; sinal positivo → cresce.)
Passo 5
Comportamento de extremos (máximos e mínimos).
Pelo teste da primeira derivada: em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso indica um ponto de mínimo local em
.
Vamos verificar se é mínimo absoluto (global). Analise os limites:
-
(a exponencial domina e cresce muito). -
. Explicação: muito rápido, mas o produto tende a vindo de valores negativos.
Como para
a função tende a
(valor maior que
) e para
vai para
, o valor
é o menor valor que a função atinge: é mínimo absoluto. Não existe máximo absoluto, pois a função é ilimitada acima (
).
Portanto:
- Há um mínimo absoluto (e local) em
com valor . - Não há máximo (nem local nem global).
Passo 6
Agora estudamos a concavidade: precisamos da segunda derivada
.
Partimos de
. Derivando de novo, use produto e regra da cadeia. Vou fazer passo a passo:
Derivada de
:
- Derivada de
é , multiplicada por dá . - Mais
vezes derivada de , que é , dá .
Somando:
Fatorando:
Interpretação: novamente
, então o sinal de
é o sinal de
.
-
quando : aí a função é côncava para baixo. -
quando : aí a função é côncava para cima.
Ponto de inflexão: onde
e troca de concavidade. Solve
. Pela positividade da exponencial, temos
. Verificamos troca de sinal (de negativo para positivo), logo
é ponto de inflexão.
Valor da função no ponto de inflexão:
Resumo da concavidade:
- Côncava para baixo em
. - Côncava para cima em
. - Ponto de inflexão em
com coordenada .
Resposta
(a) Ponto crítico:
. Valor crítico:
é decrescente em
e crescente em
com valor
. Não há máximo (a função diverge para
).\n(d)
. Côncava para baixo em
, côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
com
.)