(2.5) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x e^{2 x}.
(a) Encontre os pontos críticos e valores críticos de f.
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Calcule, se existir, os pontos de máximo e mínimo.
(d) Estude a concavidade da função.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x e^{2x}.
E pede quatro coisas:
  1. (a) Encontrar os pontos críticos e os valores críticos de f.
  2. (b) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
  3. (c) Calcular, se existirem, pontos de máximo e mínimo (locais ou absolutos).
  4. (d) Estudar a concavidade da função (onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x). Não há restrição de domínio além de \mathbb{R}. A resolução começará calculando derivadas para tratar dos itens (a)-(d).

Passo 2

Primeiro precisamos da derivada \,f'(x), porque pontos críticos e crescimento/decrescimento vêm do sinal de \,f'(x).
Lembrete rápido (aula-mini): a derivada mede a inclinação da curva. Para produtos usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \,(u v)' = u'v + uv'. Aqui u(x)=x e v(x)=e^{2x}.
  • u'(x)=1.
  • Para v(x)=e^{2x} usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{2x} é 2e^{2x} (porque derivada de 2x é 2).
Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x}.
Colocando fator comum e^{2x}:
f'(x)=e^{2x}(1+2x).
Aqui cada símbolo significa: e^{2x} é a exponencial (sempre positiva), e 1+2x é um fator linear que controla o sinal de f'(x).

Passo 3

Agora encontraremos os pontos críticos: são os x onde f'(x)=0 ou onde f' é indefinida. Como f'(x) está definido para todo x\in\mathbb{R}, procuramos onde f'(x)=0.
Resolva
e^{2x}(1+2x)=0.
Observação importante: \,e^{2x}>0 para todo x. Portanto a única solução vem de
1+2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Esse é o único ponto crítico.
Agora o valor crítico (a imagem de f nesse ponto): calcule f(-\tfrac{1}{2}):
f\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\tfrac{1}{2}\, e^{2(-1/2)} = -\tfrac{1}{2}\, e^{-1} = -\frac{1}{2e}.

Passo 4

Determinar intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de f'(x)=e^{2x}(1+2x).
Como e^{2x}>0 sempre, o sinal de f'(x) é o mesmo do fator 1+2x.
  • 1+2x<0 \iff x<-\tfrac{1}{2}. Nessa região f'(x)<0, então f é decrescente.
  • 1+2x>0 \iff x>-\tfrac{1}{2}. Nessa região f'(x)>0, então f é crescente.
Resumo:
\text{\(f\) é decrescente em }\;(-\infty,-\tfrac{1}{2})\quad\text{e crescente em }\;(-\tfrac{1}{2},\infty).é
(Aqui usamos o teste da primeira derivada: sinal negativo da derivada → função decresce; sinal positivo → cresce.)

Passo 5

Comportamento de extremos (máximos e mínimos).
Pelo teste da primeira derivada: em x=-\tfrac{1}{2} a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso indica um ponto de mínimo local em x=-\tfrac{1}{2}.
Vamos verificar se é mínimo absoluto (global). Analise os limites:
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} x e^{2x}=+\infty (a exponencial domina e cresce muito).
  • \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} x e^{2x}=0^{-}. Explicação: e^{2x}\to0^+ muito rápido, x\to -\infty mas o produto tende a 0 vindo de valores negativos.
Como para x\to-\infty a função tende a 0 (valor maior que -\tfrac{1}{2e}) e para x\to\infty vai para +\infty, o valor f(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{1}{2e} é o menor valor que a função atinge: é mínimo absoluto. Não existe máximo absoluto, pois a função é ilimitada acima ( +\infty).
Portanto:
  • Há um mínimo absoluto (e local) em x=-\tfrac{1}{2} com valor -\tfrac{1}{2e}.
  • Não há máximo (nem local nem global).

Passo 6

Agora estudamos a concavidade: precisamos da segunda derivada f''(x).
Partimos de f'(x)=e^{2x}(1+2x). Derivando de novo, use produto e regra da cadeia. Vou fazer passo a passo:
Derivada de e^{2x}(1+2x):
  • Derivada de e^{2x} é 2e^{2x}, multiplicada por (1+2x) 2e^{2x}(1+2x).
  • Mais e^{2x} vezes derivada de (1+2x), que é 2, dá 2e^{2x}.
Somando:
f''(x)=2e^{2x}(1+2x)+2e^{2x}=2e^{2x}\bigl((1+2x)+1\bigr)=2e^{2x}(2+2x).
Fatorando:
f''(x)=4e^{2x}(1+x).
Interpretação: novamente e^{2x}>0, então o sinal de f''(x) é o sinal de 1+x.
  • f''(x)<0 quando 1+x<0 \iff x<-1: aí a função é côncava para baixo.
  • f''(x)>0 quando 1+x>0 \iff x>-1: aí a função é côncava para cima.
Ponto de inflexão: onde f''(x)=0 e troca de concavidade. Solve 4e^{2x}(1+x)=0. Pela positividade da exponencial, temos 1+x=0\Rightarrow x=-1. Verificamos troca de sinal (de negativo para positivo), logo x=-1 é ponto de inflexão.
Valor da função no ponto de inflexão:
f(-1) = -1\cdot e^{2(-1)} = -e^{-2} = -\frac{1}{e^{2}}.
Resumo da concavidade:
  • Côncava para baixo em (-\infty,-1).
  • Côncava para cima em (-1,\infty).
  • Ponto de inflexão em x=-1 com coordenada \bigl(-1,\,-e^{-2}\bigr).

Resposta

(a) Ponto crítico: x=-\tfrac{1}{2}. Valor crítico: f(-\tfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2e}.\n(b)\;f é decrescente em (-\infty,-\tfrac{1}{2}) e crescente em (-\tfrac{1}{2},\infty).\n\text{(c)} Mínimo absoluto (e local) em \(x=-\tfrac{1}{2} com valor -\dfrac{1}{2e}. Não há máximo (a função diverge para +\infty).\n(d) f''(x)=4e^{2x}(1+x). Côncava para baixo em (-\infty,-1), côncava para cima em (-1,\infty). Ponto de inflexão em x=-1 com f(-1)=-e^{-2}.)

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