Uma pedra caiu num lago, produzindo uma ondulação circular que cresce a uma velocidade radial de 30 \mathrm{~cm} / \\mathrm{s}. Encontre a taxa segundo a qual a área dentro do círculo está crescendo depois de
6 s

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Foi dada a velocidade radial da ondulação: \dfrac{dr}{dt}=30\\ \mathrm{cm/s}.
  • Pede-se a taxa de crescimento da área dentro do círculo no instante t=6\\ \mathrm{s}.
  • Informação implícita: a ondulação começa no instante t=0 com raio inicial r(0)=0 (isto é, o círculo parte de raio zero no impacto). Vou usar essa hipótese porque o enunciado não fornece outro r(0).

Passo 2

Relacionamento entre área e raio. A área A de um círculo de raio r é dada pela fórmula conhecida:
A=\pi r^{2}.
Aqui A é a área (em \mathrm{cm}^{2}) e r é o raio (em \mathrm{cm}). Como r muda com o tempo t, a área também muda com t. Para encontrar a taxa de variação temporal da área usamos a regra da cadeia (porque A depende de r que depende de t): derivamos A em relação a t através de r:
\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.
Agora aplicamos a derivada de A=\pi r^{2} em relação a r. A derivada de r^{2} é 2r, então
\frac{dA}{dr}=2\pi r.
Portanto a expressão útil é
\frac{dA}{dt}=2\pi r\cdot\frac{dr}{dt}.
Breve explicação didática: isso significa que a rapidez com que a área cresce é proporcional ao perímetro instantâneo 2\pi r e à velocidade com que o raio aumenta \dfrac{dr}{dt}. Faz sentido físico: quanto maior o contorno, mais área ganha para a mesma expansão radial.

Passo 3

Calcular o raio no instante t=6\\ \mathrm{s}. Como a velocidade radial é constante e estamos assumindo r(0)=0, temos
r(t)=r(0)+\frac{dr}{dt}\,t = 0 + \left(30\\ \mathrm{cm/s}\right)\cdot 6\\ \mathrm{s}.
Fazendo a multiplicação,
r(6)=30\cdot 6=180\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Substituir r(6) e \dfrac{dr}{dt} na fórmula de \dfrac{dA}{dt}:
\frac{dA}{dt}\Bigg|_{t=6}=2\pi \cdot r(6)\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi\cdot 180\\ \mathrm{cm}\cdot 30\\ \mathrm{cm/s}.
Agora calcule passo a passo: 2\cdot 180=360 e 360\cdot 30=10800. Logo
\frac{dA}{dt}\Bigg|_{t=6}=10800\pi\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação das unidades e aproximação numérica. As unidades batem: r em \mathrm{cm} vezes \dfrac{dr}{dt} em \mathrm{cm/s} \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}, apropriado para taxa de variação de área. Se precisar de valor decimal, usando \pi\approx 3{,}14159265,
10800\pi\approx 33929{,}2\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
Força e calma: chegou-se à resposta com regra da cadeia e uma conta direta — é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova.

Resposta

\dfrac{dA}{dt}=10800\pi\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}
\approx 33929{,}2\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}

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