Calcule o valor presente e o valor futuro do seguinte fluxo de caixa: 4 prestações mensais e sucessivas crescentes em PA com razão de R$: 2.000,00 e taxa efetiva de 1,5% ao mês.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante para resolver o problema):
- Número de prestações:
(mensais e sucessivas). - As prestações formam uma progressão aritmética (PA) crescente com razão
R$ . - Vou assumir, de forma natural e comum nesse tipo de enunciado, que a primeira prestação é
R$ . Assim as prestações são, em ordem temporal: , , e reais. - Taxa efetiva mensal:
ao mês, ou seja . - Pedidos: calcular o valor presente dessas quatro prestações (valor no instante zero, antes da primeira prestação) e o valor futuro acumulado no instante da última prestação (após a 4ª prestação), considerando a taxa dada.
Passo 2
Conceitos essenciais e notação (mini-aula para você entender a técnica que vamos usar):
- Valor presente (PV): é a soma das prestações descontadas ao instante zero. Para uma prestação
paga no período (a 1ª no período , etc.), o seu valor presente é multiplicado pelo fator de desconto ), onde ). Então
- Valor futuro no instante
(aqui ): é a soma de cada prestação acumulada (capitalizada) até o instante . Se é paga em , então sua acumulação até é . Assim
- No nosso caso as prestações têm a forma de uma PA:
Com
isso simplifica bastante:
. Vou usar isso mais adiante.
Passo 3
Fórmulas úteis (soma de séries) e como aplicá-las aqui — mini-aula de soma de séries com exemplos:
- Soma geométrica básica: para
,
Aqui
.
- Soma com termo multiplicado por
(útil para PA escalonada):
Essa fórmula pode ser obtida derivando a soma geométrica em relação a
(não entrarei na derivação formal aqui para não alongar demais, mas o resultado acima é o que usaremos).
- Aplicação ao nosso caso: como
, a PV fica
Ou seja, basta calcular
e multiplicar por
.
Passo 4
Cálculo dos fatores numéricos (passo a passo):
- Calcule
. Então
- Calcule
(vou mostrar a lógica e os valores aproximados):
- Agora calculemos a soma
somando termo a termo:
Somando:
- Multiplicando por
obtemos o valor presente:
Arredondando para centavos:
R$
.
Passo 5
Cálculo do valor futuro no instante da 4ª prestação (duas formas, mostramos as duas como checagem):
Forma A — acumular o PV até :
Forma A — acumular o PV até
- Sabemos que acumular o valor presente até
dá
- Calcule
- Assim
Arredondando:
R$
.
Forma B — acumular cada prestação até
(checagem):
- Acumule cada pagamento:
Somando:
que coincide (dentro de arredondamentos) com a Forma A. Confirmado!
Resposta
PV = R$
FV (no instante da 4ª prestação) = R$
FV (no instante da 4ª prestação) = R$