Calcule o valor presente e o valor futuro do seguinte fluxo de caixa: 4 prestações mensais e sucessivas crescentes em PA com razão de R$: 2.000,00 e taxa efetiva de 1,5% ao mês.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante para resolver o problema):
  • Número de prestações: 4 (mensais e sucessivas).
  • As prestações formam uma progressão aritmética (PA) crescente com razão d = R$ 2.000,00.
  • Vou assumir, de forma natural e comum nesse tipo de enunciado, que a primeira prestação é a_1= R$ 2.000,00. Assim as prestações são, em ordem temporal: 2.000, 4.000, 6.000 e 8.000 reais.
  • Taxa efetiva mensal: i=1{,}5\% ao mês, ou seja i=0{,}015.
  • Pedidos: calcular o valor presente dessas quatro prestações (valor no instante zero, antes da primeira prestação) e o valor futuro acumulado no instante da última prestação (após a 4ª prestação), considerando a taxa dada.

Passo 2

Conceitos essenciais e notação (mini-aula para você entender a técnica que vamos usar):
  • Valor presente (PV): é a soma das prestações descontadas ao instante zero. Para uma prestação X_k paga no período k (a 1ª no período 1, etc.), o seu valor presente é X_k multiplicado pelo fator de desconto \(v^{k}), onde \(v=\dfrac{1}{1+i}). Então
\text{PV}=\sum_{k=1}^{n} X_k\,v^{k}.
  • Valor futuro no instante n (aqui n=4): é a soma de cada prestação acumulada (capitalizada) até o instante n. Se X_k é paga em k, então sua acumulação até n é X_k(1+i)^{\,n-k}. Assim
\text{FV}_n=\sum_{k=1}^{n} X_k(1+i)^{\,n-k}.
  • No nosso caso as prestações têm a forma de uma PA:
X_k = a_1 + (k-1)d.
Com a_1=d=2000 isso simplifica bastante: X_k=2000\cdot k. Vou usar isso mais adiante.

Passo 3

Fórmulas úteis (soma de séries) e como aplicá-las aqui — mini-aula de soma de séries com exemplos:
  • Soma geométrica básica: para v\neq1,
\sum_{k=1}^{n} v^{k} = v\frac{1-v^{n}}{1-v}.
Aqui v=\dfrac{1}{1+i}.
  • Soma com termo multiplicado por k (útil para PA escalonada):
\sum_{k=1}^{n} k v^{k} = v\frac{1-(n+1)v^{n}+nv^{n+1}}{(1-v)^{2}}.
Essa fórmula pode ser obtida derivando a soma geométrica em relação a v (não entrarei na derivação formal aqui para não alongar demais, mas o resultado acima é o que usaremos).
  • Aplicação ao nosso caso: como X_k=2000\cdot k, a PV fica
\text{PV} = \sum_{k=1}^{4} 2000\cdot k\;v^{k} = 2000\sum_{k=1}^{4} k v^{k}.
Ou seja, basta calcular \sum_{k=1}^{4} k v^{k} e multiplicar por 2000.

Passo 4

Cálculo dos fatores numéricos (passo a passo):
  • Calcule v=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1{,}015}. Então
v \approx 0{,}985221674876847.
  • Calcule v^{2},v^{3},v^{4} (vou mostrar a lógica e os valores aproximados):
v^{2}\approx 0{,}970661789,\quad v^{3}\approx 0{,}956317187,\quad v^{4}\approx 0{,}942186150.
  • Agora calculemos a soma \displaystyle \sum_{k=1}^{4} k v^{k} somando termo a termo:
1\cdot v \approx 0{,}985221675,
2\cdot v^{2} \approx 2\cdot 0{,}970661789 = 1{,}941323578,
3\cdot v^{3} \approx 3\cdot 0{,}956317187 = 2{,}868951561,
4\cdot v^{4} \approx 4\cdot 0{,}942186150 = 3{,}768744600.
Somando:
\sum_{k=1}^{4} k v^{k} \approx 0{,}985221675 + 1{,}941323578 + 2{,}868951561 + 3{,}768744600 = 9{,}564241414.
  • Multiplicando por 2000 obtemos o valor presente:
\text{PV} \approx 2000\cdot 9{,}564241414 = 19{.}128{,}482828.
Arredondando para centavos: \text{PV}\approx R$ 19.128,48.

Passo 5

Cálculo do valor futuro no instante da 4ª prestação (duas formas, mostramos as duas como checagem):
Forma A — acumular o PV até n=4:
  • Sabemos que acumular o valor presente até n
\text{FV}_4 = \text{PV}\cdot(1+i)^{4}.
  • Calcule (1+i)^{4} = 1{,}015^{4} \approx 1{,}061363550625.
  • Assim
\text{FV}_4 \approx 19{.}128{,}482828\cdot 1{,}061363550625 \approx 20{.}302{,}25675.
Arredondando: \text{FV}_4\approx R$ 20.302,26.
Forma B — acumular cada prestação até n=4 (checagem):
  • Acumule cada pagamento:
2000\cdot(1+i)^{3}\approx 2000\cdot 1{,}045678375 = 2{.}091{,}35675,
4000\cdot(1+i)^{2}\approx 4000\cdot 1{,}030225 = 4{.}120{,}90000,
6000\cdot(1+i)^{1}\approx 6000\cdot 1{,}015 = 6{.}090{,}00000,
8000\cdot(1+i)^{0}=8000.
Somando:
2{.}091{,}35675 + 4{.}120{,}90000 + 6{.}090{,}00000 + 8{.}000{,}00000 = 20{.}302{,}25675,
que coincide (dentro de arredondamentos) com a Forma A. Confirmado!

Resposta

PV = R$ 19.128,48
FV (no instante da 4ª prestação) = R$ 20.302,26

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