Calcule as antiderivadas:
[1,0] \int \operatorname{sen} x \cdot \ln (\cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma primitiva (antiderivada) da função
f(x)=\sin x\;\ln\bigl(\cos x\bigr),
ou seja, calcular
\int \sin x\;\ln\bigl(\cos x\bigr)\,dx.
O método mais natural aqui é integração por partes, pois temos produto de uma função logarítmica por uma função trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos as partes para a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Seja
u = \ln\bigl(\cos x\bigr), \quad dv = \sin x\,dx.
Então calculamos
du = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(\cos x)\bigr]\,dx = -\tan x\,dx,
v = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 3

Aplicando a fórmula,
\int \sin x\;\ln\bigl(\cos x\bigr)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \ln\bigl(\cos x\bigr)\,(-\cos x)\;-\;\int \bigl(-\cos x\bigr)\,(-\tan x)\,dx.

Passo 4

No segundo termo simplificamos:
-\int \bigl(-\cos x\bigr)\,(-\tan x)\,dx = -\int \cos x\;\frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \sin x\,dx = \cos x + C_1.
Logo
\int \sin x\;\ln\bigl(\cos x\bigr)\,dx = -\cos x\,\ln\bigl(\cos x\bigr) + \cos x + C,
onde C é a constante geral.

Resposta

-\cos x\,\ln\bigl(\cos x\bigr) + \cos x + C.

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