( 0,4 \mathrm{pts} ) Considere a função abaixo e responda:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x \cdot \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}+b^{2} & , \text { se } x<0 \\\ b & , \text { se } x=0 \\\ b x+b & , \text { se } x>0 \end{array}\right.
(a) Para que valores de b a função f é contínua em 0 ?
(b) Para os valores de b encontrados no item anterior, em quais deles f é diferenciável em 0 ?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x\cdot\dfrac{\sin(x)}{x}+b^{2},&\text{se }x<0,\\\ b,&\text{se }x=0,\\\ b\,x+b,&\text{se }x>0. \end{cases}
Queremos (a) encontrar b para que f seja contínua em 0 e (b) dentre esses valores, verificar para quais b a derivada lateral esquerda em 0 coincide com a derivada lateral direita. Vamos usar limites laterais para continuidade e derivadas laterais para diferenciabilidade.

Passo 2

Para continuidade em 0 precisamos de
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x).
Para x<0 temos x\neq0 e
x\cdot\frac{\sin(x)}{x}=\sin(x),
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\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\bigl(\sin(x)+b^{2}\bigr)=0+b^{2}=b^{2}.
Para x>0
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(b\,x+b)=0+b=b.
Impondo b^{2}=b obtemos
b(b-1)=0\quad\Longrightarrow\quad b=0\text{ ou }b=1.

Passo 3

Para diferenciabilidade em 0 calculamos as derivadas laterais quando b=0 ou 1.
Derivada pela esquerda:
f(x)=\sin(x)+b^{2}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\cos(x) \quad\Rightarrow\quad f'(0^-)=\cos(0)=1.
Derivada pela direita:
f(x)=b\,x+b\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=b \quad\Rightarrow\quad f'(0^+)=b.
Para serem iguais em 0 é preciso 1=b, ou seja, b=1.

Resposta

(a) b=0 ou b=1.
(b) Dentre esses, f é diferenciável em 0 somente para b=1.

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