( 0,3 \mathrm{pts} ) Calcule a reta tangente ao gráfico da função f(x)=\operatorname{artan}(x-1) que é paralela à reta y=x+2.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\operatorname{arctan}(x-1)
que seja paralela à reta y = x + 2. Como essa reta tem coeficiente angular igual a 1, vamos encontrar o ponto x_0 em que a derivada de f vale 1, e então determinar a equação da reta tangente em x_0.

Passo 2

Calcular a derivada de
f(x)=\operatorname{arctan}(x-1).
Usando a regra \frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac1{1+u^2} e u=x-1, temos
f'(x) =\frac{d}{dx}\operatorname{arctan}(x-1) =\frac{1}{1+(x-1)^2}.

Passo 3

Impor a condição de paralelismo: o coeficiente angular da tangente deve ser 1. Logo,
f'(x_0)=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+(x_0-1)^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 1+(x_0-1)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad (x_0-1)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x_0=1.

Passo 4

Determinar a ordenada y_0=f(x_0) no ponto de tangência:
y_0=f(1)=\operatorname{arctan}(1-1)=\operatorname{arctan}(0)=0.
O ponto de tangência é (1,0).

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente em ponto (1,0) com coeficiente angular m=1:
y - 0 = 1\cdot(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = x - 1.

Resposta

A reta tangente é
y = x - 1.

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