Calcule apenas duas das integrais abaixo.
integral cos (x / 2)2 cdot sen(x / 2) cos ^2(x / 2) d x;
Sugestões: (ii) u=sen(x / 2) du=(1 / 2) cdot cos (x / 2) dx, 1u(1-u^2)=1u+1 / 2(1-u)-1 / 2(1+u).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica que facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 12 cos(x2) , a derivada de du = 12 cos(x2) dx em relação a dx = 2 , ducos(x2) .
Sabemos que:
Isso significa que:
Agora, podemos isolar :

Passo 4

Substituímos integral cos (x2)2 cdot sen(x2) cos^2(x2) dx = integral cos (x2)2u cos^2(x2) cdot 2 , ducos(x2) e = integral 1u cos(x2) cdot 2 , du2 cos(x2) = integral 1u (1 - u^2) du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos a integral:
integral 1u (1 - u^2) du
Para resolver isso, vamos usar frações parciais. A expressão pode ser decomposta da seguinte forma:
1u (1 - u^2) = 1u + 121 - u - 121 + u
Então, a integral fica:
integral ( 1u + 1/21 - u - 1/21 + u ) du

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1u du = ln|u|
integral 1/21 - u du = -12 ln|1 - u|
integral -1/21 + u du = -12 ln|1 + u|
Juntando tudo:
ln|u| - 12 ln|1 - u| - 12 ln|1 + u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
Onde ln|sen(x2)| - 12 ln|1 - sen(x2)| - 12 ln|1 + sen(x2)| + C é a constante de integração.

Exercícios relacionados