A densidade em um certo material em uma placa retangular é dada pela função abaixo:
a) determine a direção e magnitude da taxa máxima de variação da densidade a partir do ponto
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre a densidade em uma placa retangular, dada pela função
. A tarefa aqui é descobrir para onde e quão rapidamente a densidade muda no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima variação de uma função e a taxa dessa variação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
Começamos com
. Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia:
- Derivada parcial em relação a
:
De forma semelhante,
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Substituindo
e na derivada em relação a :
- Substituindo na derivada em relação a
:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
A magnitude do gradiente nos dá a taxa máxima de variação. Calculamos assim:
Resposta
No ponto
, a direção da taxa máxima de variação da densidade é dada pelo vetor gradiente
e a magnitude dessa variação é
.