A densidade em um certo material em uma placa retangular é dada pela função abaixo:
rho=f(x, y)=1raizx^2+y^2+3
a) determine a direção e magnitude da taxa máxima de variação da densidade a partir do ponto P(2,3)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre a densidade em uma placa retangular, dada pela função . A tarefa aqui é descobrir para onde e quão rapidamente a densidade muda no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima variação de uma função e a taxa dessa variação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a partial fpartial x = -12(x^2 + y^2 + 3)^-3/2 cdot 2x = -x(x^2 + y^2 + 3)^3/2 :
Começamos com partial fpartial y = -y(x^2 + y^2 + 3)^3/2 . Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia:
  1. Derivada parcial em relação a :
De forma semelhante,

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto partial fpartial x(2,3) = -2(2^2 + 3^2 + 3)^3/2 = -2(4 + 9 + 3)^3/2 = -216^3/2 = -264 = -132 :
  1. Substituindo partial fpartial y(2,3) = -3(2^2 + 3^2 + 3)^3/2 = -316^3/2 = -364 = -364 e nabla f(2,3) = ( -132, -364 ) na derivada em relação a :
  1. Substituindo na derivada em relação a :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A magnitude do gradiente nos dá a taxa máxima de variação. Calculamos assim:
|nabla f(2,3)| = raiz(-132)^2 + (-364)^2 = raiz11024 + 94096 = raiz4 + 94096 = raiz134096 = raiz1364

Resposta

No ponto , a direção da taxa máxima de variação da densidade é dada pelo vetor gradiente e a magnitude dessa variação é .

Exercícios relacionados