Seja P(x, y)=e^2 x+3 y a função do tamanho da população de bactérias de uma cultura que cresce na direção x e segundo as retas x=3+2 t e y=5 t-2. Determine a variação instantânea dP / dt do crescimento da população de bactérias em função do tempo t

Passo 1

Então, a gente tem uma função que representa o tamanho da população de bactérias, que depende das variáveis e . A função é . As bactérias estão crescendo na direção e seguindo as retas e , onde é o tempo. Nossa missão aqui é descobrir como a população de bactérias está variando instantaneamente em relação ao tempo , ou seja, encontrar .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada total, que envolve derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois multiplicar por as derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial Ppartial x = partialpartial x ( e^2x + 3y ) = 2e^2x + 3y em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( e^2x + 3y ) = 3e^2x + 3y e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de x = 3 + 2t Rightarrow dxdt = 2 e y = 5t - 2 Rightarrow dydt = 5 em relação a .
Sabemos que:

Passo 4

Com todas essas informações, podemos usar a regra da cadeia para encontrar dPdt = partial Ppartial x cdot dxdt + partial Ppartial y cdot dydt . A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
dPdt = (2e^2x + 3y) cdot 2 + (3e^2x + 3y) cdot 5
Vamos substituir as derivadas que calculamos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
dPdt = 4e^2x + 3y + 15e^2x + 3y = 19e^2x + 3y

Resposta

A variação instantânea da população de bactérias em função do tempo dPdt = 19e^2(3 + 2t) + 3(5t - 2) = 19e^6 + 4t + 15t - 6 = 19e^19t é:

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