a função do tamanho da população de bactérias de uma cultura que cresce na direção
e segundo as retas
. Determine a variação instantânea
do crescimento da população de bactérias em função do tempo
Passo 1
Então, a gente tem uma função que representa o tamanho da população de bactérias, que depende das variáveis
e
. A função é
. As bactérias estão crescendo na direção
e seguindo as retas
e
, onde
é o tempo. Nossa missão aqui é descobrir como a população de bactérias está variando instantaneamente em relação ao tempo
, ou seja, encontrar
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada total, que envolve derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois multiplicar por as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Sabemos que:
Passo 4
Com todas essas informações, podemos usar a regra da cadeia para encontrar
. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Resposta
A variação instantânea da população de bactérias em função do tempo
é: