Calcule por aproximação linear o valor aproximado de:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, por aproximação linear, o valor aproximado de
.
Dados fornecidos: os ângulos e
e a indicação de usar aproximação linear (linearização).
Dados fornecidos: os ângulos
Passo 2
Vou transformar o produto em uma função de duas variáveis e explicar o método de aproximação linear (a “reta tangente” multivariada). Defino a função
onde
e
são ângulos medidos em radianos (importante: derivadas trigonométricas são corretas se usarmos radianos). A ideia da aproximação linear é usar um ponto
próximo de
onde conhecemos valores exatos, e aproximar:
onde
e
, e
,
são as derivadas parciais de
.
Explicando as derivadas trigonométricas usadas:
Assim, as derivadas parciais são
Passo 3
Escolho o ponto base
porque
e
estão bem próximos desses valores e os senos e cossenos em
e
são valores exatos conhecidos. Não pularei passos: converterei para radianos quando calcular os incrementos.
Calculo o valor de
no ponto base (usando valores trigonométricos conhecidos):
Passo 4
Avalio as derivadas parciais no ponto base. Usando
,
,
,
:
Passo 5
Calculo os incrementos
e
em radianos. Convertendo graus para radianos (
rad):
Passo 6
Aplico a fórmula da aproximação linear:
Note que o segundo termo e o terceiro termo têm sinais que resultam em soma, pois
é negativo e
também é negativo. Faço a soma algebraicamente:
Portanto
Passo 7
Faço a avaliação numérica passo a passo (usando aproximações padrão
e
):
Somando ao valor base:
Arredondando de forma prática para três casas decimais (útil em prova):
.
Passo 8
Resumo rápido para a prova: escolha pontos base com valores trigonométricos exatos (aqui
), compute derivadas parciais simples, converta incrementos para radianos, e aplique
. Isso dá resposta rápida e com boa precisão.