Calcule por aproximação linear o valor aproximado de:
\sin 32^{\circ} \cdot \cos 59^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, por aproximação linear, o valor aproximado de \sin 32^{\circ}\cdot\cos 59^{\circ}.
Dados fornecidos: os ângulos \,32^{\circ} e \,59^{\circ} e a indicação de usar aproximação linear (linearização).

Passo 2

Vou transformar o produto em uma função de duas variáveis e explicar o método de aproximação linear (a “reta tangente” multivariada). Defino a função
F(\alpha,\beta)=\sin\alpha\cos\beta,
onde \alpha e \beta são ângulos medidos em radianos (importante: derivadas trigonométricas são corretas se usarmos radianos). A ideia da aproximação linear é usar um ponto (\alpha_0,\beta_0) próximo de (\alpha,\beta) onde conhecemos valores exatos, e aproximar:
F(\alpha,\beta)\approx F(\alpha_0,\beta_0)+F_\alpha(\alpha_0,\beta_0)\,\Delta\alpha+F_\beta(\alpha_0,\beta_0)\,\Delta\beta,
onde \Delta\alpha=\alpha-\alpha_0 e \Delta\beta=\beta-\beta_0, e F_\alpha, F_\beta são as derivadas parciais de F.
Explicando as derivadas trigonométricas usadas:
\frac{d}{d\alpha}\sin\alpha=\cos\alpha,\qquad \frac{d}{d\beta}\cos\beta=-\sin\beta.
Assim, as derivadas parciais são
F_\alpha(\alpha,\beta)=\cos\alpha\cos\beta,\qquad F_\beta(\alpha,\beta)=-\sin\alpha\sin\beta.

Passo 3

Escolho o ponto base (\alpha_0,\beta_0)=(30^{\circ},60^{\circ}) porque \,32^{\circ} e \,59^{\circ} estão bem próximos desses valores e os senos e cossenos em 30^{\circ} e 60^{\circ} são valores exatos conhecidos. Não pularei passos: converterei para radianos quando calcular os incrementos.
Calculo o valor de F no ponto base (usando valores trigonométricos conhecidos):
F(\alpha_0,\beta_0)=\sin 30^{\circ}\cos 60^{\circ}=\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Avalio as derivadas parciais no ponto base. Usando \sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2}, \cos 30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^{\circ}=\tfrac{1}{2}:
F_\alpha(\alpha_0,\beta_0)=\cos 30^{\circ}\cos 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4},
F_\beta(\alpha_0,\beta_0)=-\sin 30^{\circ}\sin 60^{\circ}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 5

Calculo os incrementos \Delta\alpha e \Delta\beta em radianos. Convertendo graus para radianos ( 1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} rad):
\Delta\alpha=32^{\circ}-30^{\circ}=2^{\circ}=2\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{90},
\Delta\beta=59^{\circ}-60^{\circ}=-1^{\circ}=-1\cdot\frac{\pi}{180}=-\frac{\pi}{180}.

Passo 6

Aplico a fórmula da aproximação linear:
\begin{aligned} F(32^{\circ},59^{\circ})&\approx F(\alpha_0,\beta_0)+F_\alpha(\alpha_0,\beta_0)\,\Delta\alpha+F_\beta(\alpha_0,\beta_0)\,\Delta\beta\\[4pt] &=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\pi}{90}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\cdot\left(-\frac{\pi}{180}\right). \end{aligned}
Note que o segundo termo e o terceiro termo têm sinais que resultam em soma, pois \Delta\beta é negativo e F_\beta também é negativo. Faço a soma algebraicamente:
\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\pi}{90}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\pi}{90}\left(1+\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\pi}{90}\cdot\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi}{240}.
Portanto
F(32^{\circ},59^{\circ})\approx\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}\pi}{240}.]

Passo 7

Faço a avaliação numérica passo a passo (usando aproximações padrão \sqrt{3}\approx1,73205 e \pi\approx3,14159):
\frac{\sqrt{3}\pi}{240}\approx\frac{1,73205\cdot 3,14159}{240}\approx\frac{5,44140}{240}\approx0,0226725.
Somando ao valor base:
\frac{1}{4}+0,0226725=0,25+0,0226725=0,2726725\approx0,2727.
Arredondando de forma prática para três casas decimais (útil em prova): 0,273.

Passo 8

Resumo rápido para a prova: escolha pontos base com valores trigonométricos exatos (aqui 30^{\circ},60^{\circ}), compute derivadas parciais simples, converta incrementos para radianos, e aplique \Delta F\approx F_\alpha\Delta\alpha+F_\beta\Delta\beta. Isso dá resposta rápida e com boa precisão.

Resposta

0,273

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