Determine todos os pontos de coordenadas positivas que pertencem simultaneamente aos planos definidos pelas três equações abaixo:
\left\{\begin{array}{l} 2 x-6 y+2 z=4 \\\ x+2 y+5 z=4 \\\\ 3 x-9 y+3 z=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares e pede todos os pontos cujas coordenadas são positivas e que satisfaçam simultaneamente as três equações. As equações fornecidas são:
\begin{cases} 2x-6y+2z=4\\[4pt] x+2y+5z=4\\[4pt] 3x-9y+3z=6 \end{cases}
O que é pedido: encontrar todos os tripletos (x,y,z) tais que x>0, y>0, z>0 e que satisfaçam as três equações acima.]

Passo 2

Primeira observação útil: comparar a terceira equação com a primeira. Multiplicando a primeira equação por 1{,}5 (ou seja por \tfrac{3}{2}) obtemos:
1{,}5\cdot(2x-6y+2z)=1{,}5\cdot4 \implies 3x-9y+3z=6,
que é exatamente a terceira equação. Conclusão: a terceira equação é dependente das outras duas (não acrescenta restrição nova). Portanto a solução comum às três equações é a mesma solução comum às primeiras duas equações — isto normalmente é uma reta (infinitas soluções) no espaço \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para simplificar os cálculos, divido a primeira equação por 2\). Assim trabalho com as duas equações equivalentes: \[\begin{cases} x-3y+z=2\\[4pt] x+2y+5z=4 \end{cases}
Aqui cada letra (x,y,z] representa uma coordenada do ponto que queremos encontrar.]

Passo 4

Vou isolar x na primeira equação para fazer substituição. Da primeira equação temos:
x = 2 + 3y - z.
Explico rapidamente: isolamos x porque é mais simples substituir em seguida na segunda equação e reduzir para uma relação entre y e z.

Passo 5

Substituo x obtido na segunda equação:
(2+3y-z) + 2y + 5z = 4.
Agora somo os termos semelhantes:
2 + 3y - z + 2y + 5z = 4 \implies 2 + 5y + 4z = 4.
Subtraindo 2 dos dois lados:
5y + 4z = 2.
Essa é uma relação linear simples entre y e z.

Passo 6

Isolo z em função de y a partir de 5y+4z=2:
4z = 2 - 5y \implies z = \frac{2-5y}{4}.
Agora atenção à condição de coordenadas positivas: queremos z>0. Isso implica
\frac{2-5y}{4} > 0 \iff 2-5y>0 \iff y < \frac{2}{5}.
Também queremos y>0. Portanto já temos a restrição para y:
0 < y < \frac{2}{5}.

Passo 7

Agora obtenho x em função de y substituindo z na expressão x=2+3y-z:
x = 2 + 3y - \frac{2-5y}{4}.
Faço as contas cuidadosamente (colocando tudo sobre o mesmo denominador 4):
x = \frac{8 + 12y - (2-5y)}{4} = \frac{8 + 12y -2 +5y}{4} = \frac{6 + 17y}{4}.
Verificação da positividade: para y>0 o numerador 6+17y>6, logo x>0 automaticamente. Assim a única restrição adicional já era a do y obtida antes.

Passo 8

Resumo das fórmulas paramétricas: se eu tomo um parâmetro t representando y, ou seja y=t, com 0<t<\tfrac{2}{5}, então
x=\frac{6+17t}{4},\qquad y=t,\qquad z=\frac{2-5t}{4}.
Isto descreve todos os pontos da interseção que têm coordenadas positivas. Geometricamente é um segmento aberto (sem os extremos) da reta de interseção entre os dois planos, pois os extremos corresponderiam a t=0 (aqui y=0, não permitido) e a t=\tfrac{2}{5} (aqui z=0, também não permitido).

Resposta

\displaystyle \left\{\left(\frac{6+17t}{4},\,t,\,\frac{2-5t}{4}\right)\\ \middle|\\\ 0<t<\frac{2}{5}\right\}

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