Resolva a equação diferencial dada abaixo.
\left(2 y^{2}+3 x\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(2 y^{2}+3 x\right) d x+2 x y\, d y=0
e pede para resolvê‑la (achar a família de curvas solução). Informações dadas que vamos usar explicitamente:
M(x,y)=2y^{2}+3x\quad\text{é o coeficiente de }d x,é
N(x,y)=2xy\quad\text{é o coeficiente de }d y.é
A partir daqui vamos transformar ou integrar essa forma diferencial até obter a solução geral.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata: calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{2}+3x\bigr)=4y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr)=2y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=4y\neq 2y=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata no estado atual. Então precisamos de um fator integrante (uma função que multiplica a equação e a torne exata).

Passo 3

Explico como achar um fator integrante dependendo só de x. Se existe \mu(x) tal que \mu(x)M\,dx+\mu(x)N\,dy é exata, uma condição prática é que a função
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
deve depender somente de x. Calculamos essa expressão:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{4y-2y}{2xy}=\frac{2y}{2xy}=\frac{1}{x}.
Isso depende apenas de x. Logo existe um fator integrante \mu(x) e ele satisfaz
\frac{d}{dx}\bigl(\ln\mu(x)\bigr)=\frac{1}{x}.
Integramos essa equação para achar \mu(x):
\ln\mu(x)=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Podemos escolher a constante multiplicativa C=0, então
\mu(x)=|x|.
Em problemas de equações diferenciais geralmente podemos tomar \mu(x)=x (considerando x\neq 0); usaremos \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x. Obtemos a equação equivalente
\bigl(2x y^{2}+3x^{2}\bigr)\,dx+2x^{2}y\,dy=0.
Agora os novos coeficientes são
\widetilde M(x,y)=2x y^{2}+3x^{2},\qquad \widetilde N(x,y)=2x^{2}y.

Passo 5

Verificamos que a nova equação é exata: calculamos as parciais
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x y^{2}+3x^{2}\bigr)=4xy,
\frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y\bigr)=4xy.
Como \frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\frac{\partial \widetilde N}{\partial x}, a forma é exata e existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\widetilde M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde N.

Passo 6

Para achar \Psi integramos \widetilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int\bigl(2x y^{2}+3x^{2}\bigr)\,dx.
Fazendo a integral termo a termo:
\int 2x y^{2}\,dx = y^{2}\int 2x\,dx = y^{2}\,x^{2},
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}.
Então obtemos
\Psi(x,y)=x^{2}y^{2}+x^{3}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y que aparece como “constante” da integração em x.

Passo 7

Determinamos h(y) usando a outra condição \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde N. Calculamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}+x^{3}+h(y)\bigr)=2x^{2}y+h'(y).
Isso deve ser igual a \widetilde N=2x^{2}y. Portanto
2x^{2}y+h'(y)=2x^{2}y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Integrando h'(y)=0 vem h(y)=\text{constante}. Logo a função potencial é, salvo constante,
\Psi(x,y)=x^{2}y^{2}+x^{3}.

Passo 8

A solução geral implícita da equação diferencial exata é \Psi(x,y)=C, onde C é constante arbitrária. Assim a família de curvas solução é dada por
x^{2}y^{2}+x^{3}=C.
Se quiser isolar y, podemos escrever
y^{2}=\frac{C-x^{3}}{x^{2}}=\frac{C}{x^{2}}-x,
e então
y=\pm\sqrt{\frac{C}{x^{2}}-x},
com a condição de domínio que torne o radicando não negativo e x\neq 0 (pois usamos \mu(x)=x).

Resposta

x^{2}y^{2}+x^{3}=C

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