Resolva a equação diferencial dada abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la (achar a família de curvas solução). Informações dadas que vamos usar explicitamente:
A partir daqui vamos transformar ou integrar essa forma diferencial até obter a solução geral.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata: calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata no estado atual. Então precisamos de um fator integrante (uma função que multiplica a equação e a torne exata).
Passo 3
Explico como achar um fator integrante dependendo só de
. Se existe
tal que
é exata, uma condição prática é que a função
deve depender somente de
. Calculamos essa expressão:
Isso depende apenas de
. Logo existe um fator integrante
e ele satisfaz
Integramos essa equação para achar
:
Podemos escolher a constante multiplicativa
, então
Em problemas de equações diferenciais geralmente podemos tomar
(considerando
); usaremos
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
. Obtemos a equação equivalente
Agora os novos coeficientes são
Passo 5
Verificamos que a nova equação é exata: calculamos as parciais
Como
, a forma é exata e existe uma função potencial
tal que
Passo 6
Para achar
integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Fazendo a integral termo a termo:
Então obtemos
onde
é uma função arbitrária de
que aparece como “constante” da integração em
.
Passo 7
Determinamos
usando a outra condição
. Calculamos
Isso deve ser igual a
. Portanto
Integrando
vem
. Logo a função potencial é, salvo constante,
Passo 8
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
, onde
é constante arbitrária. Assim a família de curvas solução é dada por
Se quiser isolar
, podemos escrever
e então
com a condição de domínio que torne o radicando não negativo e
(pois usamos
).