O enunciado dá um sistema linear com três equações e pede para determinar para quais valores dos parâmetros m\) e \(n\) o sistema possui solução. As equações fornecidas são:
\[\begin{cases} x+y-z=1,\\[4pt] x+2y-2z=3,\\[4pt] y-3x+m z=n. \end{cases}
Agora analiso a equação (m+1)z = n-5. Há dois casos naturais: m+1\neq 0 e m+1=0.
Caso A: m+1\neq 0 (ou seja, m\neq -1).
Então eu posso dividir por m+1 e obter
z=\frac{n-5}{m+1}.
Com esse z volto às relações anteriores para obter y e x. Lembro que y=z+2, então
y=\frac{n-5}{m+1}+2.
E x=1-y+z, então faço
x=1-\Big(\frac{n-5}{m+1}+2\Big)+\frac{n-5}{m+1}.
Simplificando x: os dois termos com \frac{n-5}{m+1} somam-se e se cancelam parcialmente:
x=1-2 + \frac{n-5}{m+1}-\frac{n-5}{m+1} = -1.
Repare: ao simplificar corretamente nota-se que os termos em \frac{n-5}{m+1} se anulam, e portanto x=-1 (podemos checar substituindo). Assim, quando m\neq -1 existe exatamente uma solução (única) dada por
Conclusão do Caso A: para todo m\neq -1 e qualquer n o sistema tem solução única.
Passo 8
Caso B: m+1=0, isto é m=-1. Então a equação (m+1)z = n-5 vira
0\cdot z = n-5 \quad\Longrightarrow\quad 0 = n-5.
Dessa igualdade temos duas subpossibilidades:
Se n\neq 5, então 0 = n-5 é falso (contradição), ou seja, não existe z que satisfaça; portanto o sistema não tem solução (inconsistente).
Se n=5, então 0 = n-5 é verdadeira (fica 0=0), a equação não impõe restrição sobre z: z fica livre (parâmetro). Voltando às relações anteriores, quando m=-1 e n=5 temos y=z+2 (da mesma forma) e x=1-y+z. Calculo x expressando em função de um parâmetro livre t com z=t:
z=t,\qquad y=t+2,\qquad x=1-(t+2)+t = -1.
Portanto quando m=-1 e n=5 há infinitas soluções, parametrizadas por t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(-1,\;t+2,\;t).
Passo 9
Resumo da análise de consistência e número de soluções:
Se m\neq -1: para qualquer n o sistema tem exatamente uma solução (sistema consistente, solução única).
Se m=-1: o sistema tem solução somente quando n=5. Nesse caso há infinitas soluções; se n\neq 5 não há solução.
Resposta
Se m\neq -1: existe solução única para todo n.
Se m=-1: existe solução se, e somente se, n=5; neste caso há infinitas soluções dadas por x=-1,\;y=t+2,\;z=t para t\in\mathbb{R}.