Para quais valores de m e n o sistema abaixo possui solução?
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=1 \\ x+2 y-2 z=3 \\ y-3 x+m z=n \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e pede para determinar para quais valores dos parâmetros m\) e \(n\) o sistema possui solução. As equações fornecidas são: \[\begin{cases} x+y-z=1,\\[4pt] x+2y-2z=3,\\[4pt] y-3x+m z=n. \end{cases}
Informações relevantes que eu tenho anotadas:
\text{(1)}\; x+y-z=1,\qquad \text{(2)}\; x+2y-2z=3,\qquad \text{(3)}\; -3x+y+mz=n
(obs.: na terceira eu reescrevi y-3x+mz=n\] como \(-3x+y+mz=n para ver claramente os coeficientes).
A pergunta é: para quais valores de m e n esse sistema tem solução?]

Passo 2

Primeiro faço uma eliminação simples entre (1) e (2) para obter uma equação envolvendo só y e z. Faço (2)-(1):
(x+2y-2z)-(x+y-z)=3-1.
Calculando termo a termo:
x-x=0,\quad 2y-y=y,\quad -2z-(-z)=-2z+z=-z,\quad 3-1=2.
Logo obtenho a equação
\boxed{y-z=2.}

Passo 3

Agora isolo x a partir da equação (1), porque é fácil e útil para substituir em (3):
x+y-z=1 \implies x=1-y+z.
Expliquei: isolei x movendo y-z para o outro lado, fazendo operações inversas.

Passo 4

Substituo x=1-y+z na equação (3) reescrita como -3x+y+mz=n. Então:
-3(1-y+z)+y+mz=n.
Faço a distribuição e agrupo termos:
-3 +3y -3z + y + m z = n.
Somando os termos em y e em z:
(3y+y) +((-3z)+mz) -3 = n \;\Longrightarrow\; 4y + (m-3)z -3 = n.
Isolando os termos numéricos e movendo -3 para o outro lado:
\boxed{4y + (m-3)z = n+3.}

Passo 5

Já tinha em

Passo 6

y=z+2.
Substituo isso na equação obtida no passo anterior 4y+(m-3)z=n+3:
4(z+2) + (m-3)z = n+3.
Desenvolvendo:
4z+8 + (m-3)z = n+3.
Agrupando os coeficientes de z e os constantes:
(4 + m -3)z + 8 = n+3 \;\Longrightarrow\; (m+1)z + 8 = n+3.
Isolando o termo com z:
\boxed{(m+1)z = n-5.}

Passo 7

Agora analiso a equação (m+1)z = n-5. Há dois casos naturais: m+1\neq 0 e m+1=0.
Caso A: m+1\neq 0 (ou seja, m\neq -1).
Então eu posso dividir por m+1 e obter
z=\frac{n-5}{m+1}.
Com esse z volto às relações anteriores para obter y e x. Lembro que y=z+2, então
y=\frac{n-5}{m+1}+2.
E x=1-y+z, então faço
x=1-\Big(\frac{n-5}{m+1}+2\Big)+\frac{n-5}{m+1}.
Simplificando x: os dois termos com \frac{n-5}{m+1} somam-se e se cancelam parcialmente:
x=1-2 + \frac{n-5}{m+1}-\frac{n-5}{m+1} = -1.
Repare: ao simplificar corretamente nota-se que os termos em \frac{n-5}{m+1} se anulam, e portanto x=-1 (podemos checar substituindo). Assim, quando m\neq -1 existe exatamente uma solução (única) dada por
z=\frac{n-5}{m+1},\qquad y=\frac{n-5}{m+1}+2,\qquad x=-1.
Conclusão do Caso A: para todo m\neq -1 e qualquer n o sistema tem solução única.

Passo 8

Caso B: m+1=0, isto é m=-1. Então a equação (m+1)z = n-5 vira
0\cdot z = n-5 \quad\Longrightarrow\quad 0 = n-5.
Dessa igualdade temos duas subpossibilidades:
  • Se n\neq 5, então 0 = n-5 é falso (contradição), ou seja, não existe z que satisfaça; portanto o sistema não tem solução (inconsistente).
  • Se n=5, então 0 = n-5 é verdadeira (fica 0=0), a equação não impõe restrição sobre z: z fica livre (parâmetro). Voltando às relações anteriores, quando m=-1 e n=5 temos y=z+2 (da mesma forma) e x=1-y+z. Calculo x expressando em função de um parâmetro livre t com z=t:
z=t,\qquad y=t+2,\qquad x=1-(t+2)+t = -1.
Portanto quando m=-1 e n=5 há infinitas soluções, parametrizadas por t\in\mathbb{R}:
(x,y,z)=(-1,\;t+2,\;t).

Passo 9

Resumo da análise de consistência e número de soluções:
  • Se m\neq -1: para qualquer n o sistema tem exatamente uma solução (sistema consistente, solução única).
  • Se m=-1: o sistema tem solução somente quando n=5. Nesse caso há infinitas soluções; se n\neq 5 não há solução.

Resposta

Se m\neq -1: existe solução única para todo n.
Se m=-1: existe solução se, e somente se, n=5; neste caso há infinitas soluções dadas por x=-1,\;y=t+2,\;z=t para t\in\mathbb{R}.

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