Calcule a aproximação Taylor de segunda ordem das seguintes funções em torno de um ponto ( x_{0}, y_{0} ) qualquer do domínio de f.
f(x, y)=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem de
f(x,y)=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}
em torno de um ponto genérico (x_{0},y_{0}).
O conteúdo é a expansão de Taylor para funções de duas variáveis, que requer conhecer as derivadas primeiras e segundas de f em (x_{0},y_{0}).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Seja
r(x,y)=a^{2}-x^{2}-y^{2},\quad f=\sqrt{r}=r^{1/2}.
Então, usando a regra da cadeia,
f_{x}=\frac{1}{2}r^{-1/2}\,\bigl(-2x\bigr)=-\frac{x}{\sqrt{r}}, \quad f_{y}=-\frac{y}{\sqrt{r}}.

Passo 3

Agora as derivadas segundas. Derivando f_{x}=-x\,r^{-1/2} em relação a x e a y:
f_{xx} =-\,r^{-1/2}-x^{2}\,r^{-3/2}, \quad f_{xy} =-\,x\,y\,r^{-3/2}.
De modo análogo,
f_{yy} =-\,r^{-1/2}-y^{2}\,r^{-3/2}.

Passo 4

A fórmula de Taylor de segunda ordem para duas variáveis é
f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0}) +f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) +f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}) +\tfrac12\Bigl[ f_{xx}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{2} +2\,f_{xy}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0}) +f_{yy}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})^{2} \Bigr].

Passo 5

Em (x_{0},y_{0}) denote r_{0}=a^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} e f_{0}=\sqrt{r_{0}}. Então
f_{x}(x_{0},y_{0})=-\frac{x_{0}}{f_{0}},\quad f_{y}(x_{0},y_{0})=-\frac{y_{0}}{f_{0}},
f_{xx}(x_{0},y_{0}) =-\frac{1}{f_{0}}-\frac{x_{0}^{2}}{r_{0}^{3/2}}, \quad f_{xy}(x_{0},y_{0}) =-\frac{x_{0}y_{0}}{r_{0}^{3/2}}, \quad f_{yy}(x_{0},y_{0}) =-\frac{1}{f_{0}}-\frac{y_{0}^{2}}{r_{0}^{3/2}}.

Resposta

\begin{aligned} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \approx{}&f_{0} -\frac{x_{0}}{f_{0}}\,(x-x_{0}) -\frac{y_{0}}{f_{0}}\,(y-y_{0}) \\\ &+\tfrac12\Bigl[ \Bigl(-\frac{1}{f_{0}}-\frac{x_{0}^{2}}{r_{0}^{3/2}}\Bigr)(x-x_{0})^{2} -2\;\frac{x_{0}y_{0}}{r_{0}^{3/2}}\,(x-x_{0})(y-y_{0}) +\Bigl(-\frac{1}{f_{0}}-\frac{y_{0}^{2}}{r_{0}^{3/2}}\Bigr)(y-y_{0})^{2} \Bigr], \end{aligned}
onde f_{0}=\sqrt{a^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}} e r_{0}=a^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.

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