Em cada item, verifique se o campo vetorial é conservativo e, caso seja, encontre um potencial escalar.
vec{F}(x, y)=(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \vec F(x,y)=(x,y)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial escalar f(x,y) tal que \nabla f=\vec F. O conteúdo envolvido é o teste de conservatividade em \mathbb{R}^2 (usando \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x) e, se for conservativo, a construção da potencial via integração.

Passo 2

Chamando P(x,y)=x e Q(x,y)=y, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y) = 0.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x e o domínio é todo \mathbb{R}^2 (aberto e simplesmente conectado), concluímos que \vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) = \int P(x,y)\,dx = \int x\,dx = \tfrac12 x^2 + g(y),
onde g(y) é função que depende só de y.

Passo 4

Determinamos g(y) impondo \partial f/\partial y = Q(x,y). Calculando
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}\bigl(\tfrac12 x^2 + g(y)\bigr) = g'(y)
e exigindo g'(y)=Q(x,y)=y, obtemos
g'(y)=y \quad\Longrightarrow\quad g(y)=\tfrac12 y^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

O campo \vec F(x,y)=(x,y) é conservativo e uma função potencial é
f(x,y)=\tfrac12x^2+\tfrac12y^2+C.

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