Calcule aproximadamente:
(c) \operatorname{sen}\left(\frac{14 \pi}{40}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular aproximadamente \operatorname{sen}\left(\dfrac{14\pi}{40}\right).
Informações dadas: o argumento do seno é \dfrac{14\pi}{40} radianos. A tarefa é obter um valor numérico aproximado.

Passo 2

Primeiro simplifico a fração dentro do seno:
\frac{14\pi}{40}=\frac{7\pi}{20}.
Posso também converter para graus para ter uma noção intuitiva:
\frac{7\pi}{20} \text{ rad} = \frac{7}{20}\cdot 180^\circ = 63^\circ.
Logo estamos calculando \operatorname{sen}\left(\dfrac{7\pi}{20}\right)=\operatorname{sen}(63^\circ).

Passo 3

Escolho um método prático para aproximar \operatorname{sen}(63^\circ). Uma boa ideia é escrever 63^\circ como 60^\circ+3^\circ e usar a fórmula de adição para seno, porque \operatorname{sen}(60^\circ) e \cos(60^\circ) são valores exatos simples e 3^\circ é um ângulo pequeno, que podemos aproximar bem por séries de Taylor. Esse método dá boa precisão sem calculadora.

Passo 4

Escrevo a fórmula de adição de ângulos (sem texto dentro da fórmula):
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B.
Aplicando com A=60^\circ e B=3^\circ obtemos
\sin(63^\circ)=\sin(60^\circ)\cos(3^\circ)+\cos(60^\circ)\sin(3^\circ).

Passo 5

Recordando valores exatos:
\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025404,\qquad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2}=0,5.
Vou aproximar \sin(3^\circ) e \cos(3^\circ) usando a aproximação para pequenos ângulos em radianos.

Passo 6

Converto 3^\circ para radianos:
3^\circ=\frac{3\pi}{180}=\frac{\pi}{60}\approx 0,0523598776.
Usando as expansões de Taylor (para x pequeno, em radianos):
\sin x \approx x-\frac{x^3}{6},\qquad \cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}.
Aqui x=\dfrac{\pi}{60}. Calculo x^2 e x^3:
x^2\approx 0,002741556,\qquad x^3\approx 0,000143547.
Logo
\sin(3^\circ)\approx x-\frac{x^3}{6}\approx 0,0523598776-\frac{0,000143547}{6}\approx 0,0523359531,
\cos(3^\circ)\approx 1-\frac{x^2}{2}\approx 1-0,001370778\approx 0,998629222.

Passo 7

Agora substituo tudo na fórmula de adição e faço as multiplicações com cuidado:
\sin(63^\circ)\approx \left(0,866025404\right)\left(0,998629222\right)+\left(0,5\right)\left(0,0523359531\right).
Faço os produtos:
0,866025404\cdot 0,998629222\approx 0,864838405,
0,5\cdot 0,0523359531\approx 0,0261679766.
Somando:
\sin(63^\circ)\approx 0,864838405+0,0261679766\approx 0,8910063816.

Passo 8

Comentário rápido de verificação: usando linearização direta em torno de 60^\circ (ou incluir termo quadrático) chegamos a resultado muito semelhante, portanto a aproximação acima está consistente. O valor conhecido com calculadora é aproximadamente 0,891006524, então nossa aproximação está correta até pelo menos seis casas decimais relativas.

Resposta

0,89100638

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