Calcule aproximadamente:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular aproximadamente
.
Informações dadas: o argumento do seno é radianos. A tarefa é obter um valor numérico aproximado.
Informações dadas: o argumento do seno é
Passo 2
Primeiro simplifico a fração dentro do seno:
Posso também converter para graus para ter uma noção intuitiva:
Logo estamos calculando
.
Passo 3
Escolho um método prático para aproximar
. Uma boa ideia é escrever
como
e usar a fórmula de adição para seno, porque
e
são valores exatos simples e
é um ângulo pequeno, que podemos aproximar bem por séries de Taylor. Esse método dá boa precisão sem calculadora.
Passo 4
Escrevo a fórmula de adição de ângulos (sem texto dentro da fórmula):
Aplicando com
e
obtemos
Passo 5
Recordando valores exatos:
Vou aproximar
e
usando a aproximação para pequenos ângulos em radianos.
Passo 6
Converto
para radianos:
Usando as expansões de Taylor (para
pequeno, em radianos):
Aqui
. Calculo
e
:
Logo
Passo 7
Agora substituo tudo na fórmula de adição e faço as multiplicações com cuidado:
Faço os produtos:
Somando:
Passo 8
Comentário rápido de verificação: usando linearização direta em torno de
(ou incluir termo quadrático) chegamos a resultado muito semelhante, portanto a aproximação acima está consistente. O valor conhecido com calculadora é aproximadamente
, então nossa aproximação está correta até pelo menos seis casas decimais relativas.