Calcule aproximadamente:
(a) \sqrt[3]{0,126}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular aproximadamente \sqrt[3]{0,126}.
Informações relevantes que temos/observamos do enunciado: \,0,126 é um número positivo e está muito próximo de \,0,125. Notei que \,0,125 = 0,5^3 (ou seja, o cubo de \,0,5). Isso já nos dá um palpite inicial: a raiz cúbica procurada será um pouco maior que \,0,5.

Passo 2

Estratégia (explicada de modo didático): vamos usar uma aproximação que é fácil de aplicar à mão e muito eficiente: a aproximação linear (ou Taylor de primeira ordem) em torno de um valor conhecido, e depois refinaremos com o método de Newton (uma iteração que converge rápido). Antes de aplicar, vou explicar as ideias.
Definição/ideia: se queremos achar x tal que x^3 = A (aqui A=0,126), podemos ver a função
f(x)=x^3
e queremos resolver f(x)=A. Se temos um palpite x_0 próximo da solução, podemos linearizar f em torno de x_0 usando a derivada. A derivada de f é
f'(x)=3x^2,
que nos diz a inclinação local da curva x^3.
Linearização (fórmula): a aproximação linear diz que, para x perto de x_0,
f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
Colocando f(x)=A e resolvendo para x, obtemos a fórmula prática
x \approx x_0 + \frac{A - x_0^3}{3x_0^2}.
Essa fórmula dá uma correção simples \Delta x=\dfrac{A-x_0^3}{3x_0^2} ao palpite x_0.

Passo 3

Aplicando a linearização com palpite x_0=0,5 (porque \,0,5^3=0,125 e \,0,126 é bem próximo):
Calcule x_0^3:
x_0^3 = 0,5^3 = 0,125.
Diferença entre A e x_0^3:
A - x_0^3 = 0,126 - 0,125 = 0,001.
Calcule 3x_0^2:
3x_0^2 = 3\cdot(0,5)^2 = 3\cdot 0,25 = 0,75.
Correção \Delta x:
\Delta x \approx \frac{0,001}{0,75} = 0,001\overline{3} \quad(\text{ou }0,001333\ldots).
Logo a aproximação linear dá
x \approx 0,5 + 0,001333\ldots = 0,501333\ldots
Essa já é uma aproximação muito boa.

Passo 4

Agora explico o método de Newton (mais robusto e rápido) e aplico uma iteração para refinar a resposta. Método de Newton para resolver x^3-A=0:
Fórmula geral do Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f(x)=x^3-A e f'(x)=3x^2, então
x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3-A}{3x_n^2} = \frac{2x_n + \dfrac{A}{x_n^2}}{3}.
Essa forma é útil porque evita subtrações grandes e é estável para raiz cúbica.
Tomando x_0=0,5 e aplicando a fórmula uma vez (isso já coincide com a correção linear que fizemos):
x_1 = \frac{2\cdot 0,5 + \dfrac{0,126}{(0,5)^2}}{3} = \frac{1 + \dfrac{0,126}{0,25}}{3} = \frac{1 + 0,504}{3} = \frac{1,504}{3} = 0,501333\ldots
Que é exatamente o valor do passo anterior.
Vamos fazer mais uma iteração para ver o refinamento.
Calcule x_1 como fração exata: x_1=\dfrac{1,504}{3}.
Calcule x_1^2:
x_1^2 = \left(\frac{1,504}{3}\right)^2 = \frac{1,504^2}{9} = \frac{2,262016}{9} = 0,251335111\ldots
Calcule \dfrac{A}{x_1^2}:
\frac{0,126}{x_1^2} = \frac{0,126}{0,251335111\ldots} \approx 0,501325\\ (\text{aprox. com algumas casas}).
Agora
x_2 = \frac{2x_1 + \dfrac{A}{x_1^2}}{3} \approx \frac{2\cdot 0,501333333 + 0,501325}{3} = \frac{1,002666666 + 0,501325}{3} = \frac{1,503991666}{3} \approx 0,501330555\ldots
A mudança entre x_1 e x_2 é da ordem de 10^{-6}, ou seja, já estamos com boa precisão para uso em prova sem calculadora. Se quisermos mais casas, bastaria iterar de novo, mas o ganho será muito pequeno.

Passo 5

Interpretação e arredondamento final: o valor exato de \sqrt[3]{0,126} começa com 0,50133\ldots. Para uma resposta prática, com seis casas decimais podemos dar \,0,501331 (arredondando a partir de 0,501330555\ldots).
Dica prática para prova rápida: reconhecer que 0,125=0,5^3 e aplicar a correção linear rápida acima costuma ser suficiente para obter duas ou três casas corretas rapidamente.

Resposta

(a) 0,501331

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