Calcule aproximadamente:
(a)
(a)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular aproximadamente
.
Informações relevantes que temos/observamos do enunciado: é um número positivo e está muito próximo de
. Notei que
(ou seja, o cubo de
). Isso já nos dá um palpite inicial: a raiz cúbica procurada será um pouco maior que
.
Informações relevantes que temos/observamos do enunciado:
Passo 2
Estratégia (explicada de modo didático): vamos usar uma aproximação que é fácil de aplicar à mão e muito eficiente: a aproximação linear (ou Taylor de primeira ordem) em torno de um valor conhecido, e depois refinaremos com o método de Newton (uma iteração que converge rápido). Antes de aplicar, vou explicar as ideias.
Definição/ideia: se queremos achar
tal que
(aqui
), podemos ver a função
e queremos resolver
. Se temos um palpite
próximo da solução, podemos linearizar
em torno de
usando a derivada. A derivada de
é
que nos diz a inclinação local da curva
.
Linearização (fórmula): a aproximação linear diz que, para
perto de
,
Colocando
e resolvendo para
, obtemos a fórmula prática
Essa fórmula dá uma correção simples
ao palpite
.
Passo 3
Aplicando a linearização com palpite
(porque
e
é bem próximo):
Calcule
:
Diferença entre
e
:
Calcule
:
Correção
:
Logo a aproximação linear dá
Essa já é uma aproximação muito boa.
Passo 4
Agora explico o método de Newton (mais robusto e rápido) e aplico uma iteração para refinar a resposta. Método de Newton para resolver
:
Fórmula geral do Newton:
Aqui
e
, então
Essa forma é útil porque evita subtrações grandes e é estável para raiz cúbica.
Tomando
e aplicando a fórmula uma vez (isso já coincide com a correção linear que fizemos):
Que é exatamente o valor do passo anterior.
Vamos fazer mais uma iteração para ver o refinamento.
Calcule
como fração exata:
.
Calcule
:
Calcule
:
Agora
A mudança entre
e
é da ordem de
, ou seja, já estamos com boa precisão para uso em prova sem calculadora. Se quisermos mais casas, bastaria iterar de novo, mas o ganho será muito pequeno.
Passo 5
Interpretação e arredondamento final: o valor exato de
começa com
. Para uma resposta prática, com seis casas decimais podemos dar
(arredondando a partir de
).
Dica prática para prova rápida: reconhecer que
e aplicar a correção linear rápida acima costuma ser suficiente para obter duas ou três casas corretas rapidamente.
Resposta
(a)