Calcule aproximadamente:
(d) \log _{2}(8,001)

Passo 1

O enunciado pede para calcular aproximadamente \log_{2}(8,001).
Informações dadas: o número cujo logaritmo queremos é 8,001. Não há mais informações na questão.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): 8 é potência de 2. Escrevo isso para simplificar a conta:
8 = 2^{3}.
Logo posso separar o logaritmo assim:
\log_{2}(8,001)=\log_{2}\!\big(8\cdot\tfrac{8,001}{8}\big)=\log_{2}(8)+\log_{2}\!\big(\tfrac{8,001}{8}\big).
Como \log_{2}(8)=3, fica
\log_{2}(8,001)=3+\log_{2}\!\big(1+\varepsilon\big),
onde vou calcular \varepsilon no passo seguinte.

Passo 3

Calculo \varepsilon:
\varepsilon=\frac{8,001}{8}-1=\frac{0,001}{8}=0,000125.
Então precisamos aproximar \log_{2}(1+0,000125).

Passo 4

Uso a fórmula de mudança de base para transformar em logaritmo natural (mais fácil de aproximar):
\log_{2}(1+\varepsilon)=\frac{\ln(1+\varepsilon)}{\ln 2}.
Aqui \ln é o logaritmo natural (base e). Vou aproximar \ln(1+\varepsilon) por desenvolvimento em série (linearização/Taylor) porque \varepsilon é muito pequeno:
\ln(1+\varepsilon)=\varepsilon-\tfrac{\varepsilon^{2}}{2}+\tfrac{\varepsilon^{3}}{3}-\cdots
Como \varepsilon=0,000125 é pequeno, os termos além de \varepsilon são muito pequenos. Calculo os primeiros termos:
\varepsilon=0,000125,
\varepsilon^{2}=(0,000125)^{2}=0,000000000015625=1,5625\times10^{-8},
\tfrac{\varepsilon^{2}}{2}=7,8125\times10^{-9}.
Portanto, mantendo os dois primeiros termos,
\ln(1+\varepsilon)\approx 0,000125-0,0000000078125=0,0001249921875.
O próximo termo \tfrac{\varepsilon^{3}}{3} é da ordem de 10^{-12}, desprezível para nossa precisão.

Passo 5

Agora preciso dividir por \ln 2. Uso o valor aproximado
\ln 2\approx 0,69314718.
Então
\log_{2}(1+\varepsilon)\approx\frac{0,0001249921875}{0,69314718}.
Faço a divisão (aproximação):
\frac{0,0001249921875}{0,69314718}\approx 0,00018033\ldots
Logo
\log_{2}(8,001)=3+\log_{2}(1+\varepsilon)\approx 3+0,00018033\approx 3,00018033.

Passo 6

Interpretação e erro: como desprezei termos de ordem \varepsilon^{3} e maiores, o erro é da ordem de 10^{-12}/\ln2, ou seja, totalmente irrelevante para a precisão que estamos dando (casa dos 10^{-8} ou menor). Portanto a aproximação acima é confiável.

Resposta

3,00018033

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