Determine a linearização no ponto
, das seguintes funções:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a linearização no ponto
da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a linearização é
. - Não há outras restrições explicitadas no enunciado.
Passo 2
O que é a linearização (explicação didática e fórmula): a linearização de uma função
em torno de um ponto
é a reta que melhor aproxima
perto de
; é o polinômio de Taylor de primeira ordem. A fórmula é
Aqui
é a aproximação linear,
é o valor da função no ponto
e
é a derivada de
avaliada em
. No nosso caso
, então usaremos
Eu explico isso porque na prova essa é a receita: achar
, achar
e montar a expressão acima.
Passo 3
Calcular
: substituímos
em
.
Aqui só fiz a substituição direta e usei a propriedade de que
.
Passo 4
Calcular a derivada
(aula rápida sobre regra da cadeia): se
então a regra da cadeia diz que
No nosso caso
. Primeiro achamos
:
porque a derivada de
é
, a de
é
e a de
é
. Agora aplicamos a fórmula da cadeia:
Passo 5
Avaliar a derivada em
:
Aqui fiz a substituição direta e simplifiquei.
Passo 6
Montar a linearização usando
:
Interpretação prática e dica de prova: essa reta aproxima
quando
está perto de
. Se você precisar aproximar numericamente, por exemplo
, basta calcular
. O erro é da ordem de
(termos quadráticos e superiores), então para
pequeno a aproximação fica bem boa.