Determine a linearização no ponto x=0, das seguintes funções:
(f) \ln \left(3 x^{2}+x+5\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a linearização no ponto x=0 da função \ln\left(3x^{2}+x+5\right).\n
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\ln\left(3x^{2}+x+5\right).
  • O ponto onde queremos a linearização é x=0.
  • Não há outras restrições explicitadas no enunciado.

Passo 2

O que é a linearização (explicação didática e fórmula): a linearização de uma função f em torno de um ponto a é a reta que melhor aproxima f perto de a; é o polinômio de Taylor de primeira ordem. A fórmula é
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui L(x) é a aproximação linear, f(a) é o valor da função no ponto a e f'(a) é a derivada de f avaliada em a. No nosso caso a=0, então usaremos
L(x)=f(0)+f'(0)\,x.
Eu explico isso porque na prova essa é a receita: achar f(a), achar f'(a) e montar a expressão acima.

Passo 3

Calcular f(0): substituímos x=0 em f.
f(0)=\ln\!\left(3\cdot 0^{2}+0+5\right)=\ln(5).
Aqui só fiz a substituição direta e usei a propriedade de que 0^{2}=0.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) (aula rápida sobre regra da cadeia): se f(x)=\ln(u(x)) então a regra da cadeia diz que
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
No nosso caso u(x)=3x^{2}+x+5. Primeiro achamos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{2}+x+5\big)=6x+1,
porque a derivada de 3x^{2} é 6x, a de x é 1 e a de 5 é 0. Agora aplicamos a fórmula da cadeia:
f'(x)=\frac{6x+1}{3x^{2}+x+5}.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=0:
f'(0)=\frac{6\cdot 0+1}{3\cdot 0^{2}+0+5}=\frac{1}{5}.
Aqui fiz a substituição direta e simplifiquei.

Passo 6

Montar a linearização usando L(x)=f(0)+f'(0)\,x:
L(x)=\ln(5)+\frac{1}{5}\,x.
Interpretação prática e dica de prova: essa reta aproxima f(x) quando x está perto de 0. Se você precisar aproximar numericamente, por exemplo f(0{,}1), basta calcular L(0{,}1)=\ln(5)+\frac{1}{5}\cdot 0{,}1=\ln(5)+0{,}02. O erro é da ordem de x^{2} (termos quadráticos e superiores), então para x pequeno a aproximação fica bem boa.

Resposta

\ln(5)+\dfrac{1}{5}x

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