Qual é a variação das diagonais de um cubo se os lados crescem a uma razão de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{seg} ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a variação (taxa de crescimento) das diagonais de um cubo quando os lados crescem a uma razão de \,2\\ \text{cm/s}.
Informações fornecidas relevantes:
\bullet A aresta (lado) do cubo será denotada por \,a(t).
\bullet A taxa de variação da aresta é \displaystyle \frac{da}{dt}=2\\ \text{cm/s}.
Obs.: o enunciado diz apenas “diagonais do cubo” — existem as diagonais das faces (cada face é um quadrado) e a diagonal espacial (a que atravessa o cubo de um vértice ao oposto). Vou calcular as duas taxas: a variação da diagonal de uma face e a variação da diagonal espacial.

Passo 2

Definimos as grandezas e escrevemos as fórmulas geométricas (aqui explico de onde vêm essas fórmulas usando o Teorema de Pitágoras).
Definição de variáveis: \,a(t) é a aresta, \,d_f(t) é a diagonal de uma face e \,d_s(t) é a diagonal espacial.
Diagonal de uma face: uma face é um quadrado de lado \,a. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal do quadrado satisfaz
d_f^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.
Tomando raiz positiva (comprimento),
d_f = a\sqrt{2}.
Explicação rápida: em um quadrado, a diagonal liga vértices opostos; forma-se um triângulo retângulo com catetos \,a e \,a, então a hipotenusa é \sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.
Diagonal espacial: pense no triângulo retângulo formado pela diagonal de uma face (comprimento a\sqrt{2}) e a aresta perpendicular a essa face (comprimento a). Aplicando Pitágoras novamente,
d_s^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2,
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d_s = a\sqrt{3}.
Explicação: a diagonal espacial é a hipotenusa de um triângulo reto cujos catetos são a diagonal de uma face e uma aresta perpendicular àquela face.

Passo 3

Agora tratamos as taxas de variação (derivadas em relação ao tempo). Conceito usado: a taxa de variação de uma função x(t) é \displaystyle \frac{dx}{dt}. Se x depende de a e a depende de t, usamos derivação composta (aqui é simples porque as expressões são multiplicação por constantes).
Para a diagonal da face:
d_f = a\sqrt{2}.
Derivando ambos os lados em relação a t e lembrando que \sqrt{2} é constante:
\frac{dd_f}{dt} = \sqrt{2}\,\frac{da}{dt}.
Isto usa a regra: \frac{d}{dt}[c\cdot a(t)] = c\cdot \frac{da}{dt} para constante c.
Para a diagonal espacial:
d_s = a\sqrt{3},
portanto
\frac{dd_s}{dt} = \sqrt{3}\,\frac{da}{dt}.

Passo 4

Substituímos a taxa dada \displaystyle \frac{da}{dt}=2\\ \text{cm/s} nas fórmulas obtidas:
Para a diagonal da face:
\frac{dd_f}{dt} = \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2}\\ \text{cm/s}.
Para a diagonal espacial:
\frac{dd_s}{dt} = \sqrt{3}\cdot 2 = 2\sqrt{3}\\ \text{cm/s}.
Se quiser uma ideia numérica aproximada: \,2\sqrt{2}\approx 2{,}828\\ \text{cm/s} e \,2\sqrt{3}\approx 3{,}464\\ \text{cm/s}.

Passo 5

Interpretação e observação útil para prova: as taxas obtidas não dependem do valor atual de \,a. Isso acontece porque as diagonais são diretamente proporcionais a \,a ( d_f = a\sqrt{2} e d_s = a\sqrt{3}), então um crescimento constante da aresta implica crescimento constante das diagonais com fatores \sqrt{2} e \sqrt{3}. Bom trabalho — você agora sabe como relacionar comprimentos geométricos com derivadas temporais!

Resposta

Diagonal de uma face: 2\sqrt{2}\\ \text{cm/s}
Diagonal espacial: 2\sqrt{3}\\ \text{cm/s}

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