Qual é a variação das diagonais de um cubo se os lados crescem a uma razão de
?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a variação (taxa de crescimento) das diagonais de um cubo quando os lados crescem a uma razão de
.
Informações fornecidas relevantes:
A aresta (lado) do cubo será denotada por
.
A taxa de variação da aresta é
Obs.: o enunciado diz apenas “diagonais do cubo” — existem as diagonais das faces (cada face é um quadrado) e a diagonal espacial (a que atravessa o cubo de um vértice ao oposto). Vou calcular as duas taxas: a variação da diagonal de uma face e a variação da diagonal espacial.
Informações fornecidas relevantes:
Obs.: o enunciado diz apenas “diagonais do cubo” — existem as diagonais das faces (cada face é um quadrado) e a diagonal espacial (a que atravessa o cubo de um vértice ao oposto). Vou calcular as duas taxas: a variação da diagonal de uma face e a variação da diagonal espacial.
Passo 2
Definimos as grandezas e escrevemos as fórmulas geométricas (aqui explico de onde vêm essas fórmulas usando o Teorema de Pitágoras).
Definição de variáveis: é a aresta,
é a diagonal de uma face e
é a diagonal espacial.
Definição de variáveis:
Diagonal de uma face: uma face é um quadrado de lado
. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal do quadrado satisfaz
Tomando raiz positiva (comprimento),
Explicação rápida: em um quadrado, a diagonal liga vértices opostos; forma-se um triângulo retângulo com catetos
e
, então a hipotenusa é
.
Diagonal espacial: pense no triângulo retângulo formado pela diagonal de uma face (comprimento
) e a aresta perpendicular a essa face (comprimento
). Aplicando Pitágoras novamente,
logo
Explicação: a diagonal espacial é a hipotenusa de um triângulo reto cujos catetos são a diagonal de uma face e uma aresta perpendicular àquela face.
Passo 3
Agora tratamos as taxas de variação (derivadas em relação ao tempo). Conceito usado: a taxa de variação de uma função
é
. Se
depende de
e
depende de
, usamos derivação composta (aqui é simples porque as expressões são multiplicação por constantes).
Para a diagonal da face:
Derivando ambos os lados em relação a
e lembrando que
é constante:
Isto usa a regra:
para constante
.
Para a diagonal espacial:
portanto
Passo 4
Substituímos a taxa dada
nas fórmulas obtidas:
Para a diagonal da face:
Para a diagonal espacial:
Se quiser uma ideia numérica aproximada:
e
.
Passo 5
Interpretação e observação útil para prova: as taxas obtidas não dependem do valor atual de
. Isso acontece porque as diagonais são diretamente proporcionais a
(
e
), então um crescimento constante da aresta implica crescimento constante das diagonais com fatores
e
. Bom trabalho — você agora sabe como relacionar comprimentos geométricos com derivadas temporais!
Resposta
Diagonal de uma face:
Diagonal espacial:
Diagonal espacial: