- Calcule aproximadamente
utilizando interpolação linear da função
sobre dois pontos,
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, de forma aproximada, o valor de
usando interpolação linear da função
nos dois pontos dados.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
.\n - Temos os valores nos pontos:
e (peguei esses valores do enunciado).\n - O ponto onde queremos aproximar é
.\n
Pergunta explícita: aproximarpor interpolação linear entre os pontos e .
Passo 2
Vou explicar o que é interpolação linear e a fórmula que vamos usar.\n
Interpolação linear entre dois pontos e
aproxima a função por uma reta (o segmento que liga os pontos). A fórmula é:
Interpolação linear entre dois pontos
Aqui:
-
e são os pontos conhecidos;\n -
é o ponto onde quero aproximar a função;\n - o quociente
é a inclinação (a “taxa de variação”) do segmento de reta que passa pelos pontos.\n
Essa reta é a melhor aproximação linear da função entree . Vou aplicar essa fórmula com , e .
Passo 3
Calculo da inclinação (o coeficiente angular) do segmento que liga os dois pontos dados.\n
Usando a fórmula da inclinação:
Usando a fórmula da inclinação:
Agora faço as contas passo a passo:\n
O denominador .\n
O numerador é .\n
Portanto
O denominador
O numerador é
Portanto
Dividindo:
. Uma forma prática: multiplicar ambos por 4 (pois
), então
\n
Logo a inclinação é .
Logo a inclinação é
Passo 4
Agora aplico a fórmula de interpolação linear para
.\n
A fórmula dá
A fórmula dá
Com
,
e
:
Calculo
.\n
Multiplicando: .\n
Faço a multiplicação em partes: e
. Somando:
\n
Portanto a aproximação por interpolação linear é
Multiplicando:
Faço a multiplicação em partes:
Portanto a aproximação por interpolação linear é
Passo 5
Vou explicar rapidamente sobre erro da interpolação e comentar se essa aproximação tende a subestimar ou superestimar o valor real.\n
A segunda derivada de é
A segunda derivada de
Observe que
para
, ou seja,
é côncava no intervalo positivo. Para funções côncavas, o segmento de reta entre dois pontos fica abaixo do gráfico da função, portanto a interpolação linear fornece um valor menor que o valor real da função (subestima).\n
Também existe uma fórmula de estimativa de erro máximo para interpolação linear em :
Também existe uma fórmula de estimativa de erro máximo para interpolação linear em
Aqui
,
, então
. No intervalo
o valor máximo de
ocorre em
, pois
decresce com
. Assim
Calculando a estimativa de erro:
Como a função é côncava, a interpolação subestima, então
Só para confirmar qualitativa: o valor exato (calculado com logaritmos naturais) seria
, que está dentro do intervalo acima e é maior que
, como esperado.
Resposta
0{,}1932