1. Calcule aproximadamente \log _{2} 1.15 utilizando interpolação linear da função f(x)=\log _{2} x sobre dois pontos, f(1)=0 e f(1.25)=0.322.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, de forma aproximada, o valor de \log_{2} 1{,}15 usando interpolação linear da função f(x)=\log_{2}x nos dois pontos dados.\n
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\log_{2}x.\n
  • Temos os valores nos pontos: f(1)=0 e f(1{,}25)=0{,}322 (peguei esses valores do enunciado).\n
  • O ponto onde queremos aproximar é x=1{,}15.\n
    Pergunta explícita: aproximar \log_{2}1{,}15 por interpolação linear entre os pontos (1,0) e (1{,}25,0{,}322).

Passo 2

Vou explicar o que é interpolação linear e a fórmula que vamos usar.\n
Interpolação linear entre dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) aproxima a função por uma reta (o segmento que liga os pontos). A fórmula é:
y \approx y_0 + \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\,(x-x_0).
Aqui:
  • (x_0,y_0) e (x_1,y_1) são os pontos conhecidos;\n
  • x é o ponto onde quero aproximar a função;\n
  • o quociente \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} é a inclinação (a “taxa de variação”) do segmento de reta que passa pelos pontos.\n
    Essa reta é a melhor aproximação linear da função entre x_0 e x_1. Vou aplicar essa fórmula com (x_0,y_0)=(1,0), (x_1,y_1)=(1{,}25,0{,}322) e x=1{,}15.

Passo 3

Calculo da inclinação (o coeficiente angular) do segmento que liga os dois pontos dados.\n
Usando a fórmula da inclinação:
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{0{,}322-0}{1{,}25-1}.
Agora faço as contas passo a passo:\n
O denominador 1{,}25-1=0{,}25.\n
O numerador é 0{,}322.\n
Portanto
m=\frac{0{,}322}{0{,}25}.
Dividindo: \dfrac{0{,}322}{0{,}25}=0{,}322\div 0{,}25. Uma forma prática: multiplicar ambos por 4 (pois 1/0{,}25=4), então 0{,}322\div 0{,}25 = 0{,}322\times 4 = 1{,}288.\n
Logo a inclinação é m=1{,}288.

Passo 4

Agora aplico a fórmula de interpolação linear para x=1{,}15.\n
A fórmula dá
f(1{,}15)\approx y_0 + m\,(1{,}15-x_0).
Com y_0=0, m=1{,}288 e x_0=1:
f(1{,}15)\approx 0 + 1{,}288\,(1{,}15-1).
Calculo 1{,}15-1=0{,}15.\n
Multiplicando: 1{,}288\times 0{,}15.\n
Faço a multiplicação em partes: 1{,}288\times 0{,}1 = 0{,}1288 e 1{,}288\times 0{,}05 = 0{,}0644. Somando: 0{,}1288+0{,}0644 = 0{,}1932.\n
Portanto a aproximação por interpolação linear é
\log_{2}1{,}15 \approx 0{,}1932.

Passo 5

Vou explicar rapidamente sobre erro da interpolação e comentar se essa aproximação tende a subestimar ou superestimar o valor real.\n
A segunda derivada de f(x)=\log_{2}x é
f''(x) = -\frac{1}{x^{2}\ln 2}.
Observe que f''(x)<0 para x>0, ou seja, f é côncava no intervalo positivo. Para funções côncavas, o segmento de reta entre dois pontos fica abaixo do gráfico da função, portanto a interpolação linear fornece um valor menor que o valor real da função (subestima).\n
Também existe uma fórmula de estimativa de erro máximo para interpolação linear em [a,b]:
\max\lvert\text{erro}\rvert \le \frac{(b-a)^{2}}{8}\max_{x\in[a,b]}\lvert f''(x)\rvert.
Aqui a=1, b=1{,}25, então b-a=0{,}25. No intervalo [1,1{,}25] o valor máximo de \lvert f''(x)\rvert ocorre em x=1, pois \lvert f''(x)\rvert = \dfrac{1}{x^{2}\ln 2} decresce com x. Assim
\max\lvert f''(x)\rvert = \frac{1}{1^{2}\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}\approx 1{,}442695.
Calculando a estimativa de erro:
\text{erro}_{\max} \le \frac{(0{,}25)^{2}}{8}\times 1{,}442695 = \frac{0{,}0625}{8}\times 1{,}442695 = 0{,}0078125\times 1{,}442695 \approx 0{,}0113.
Como a função é côncava, a interpolação subestima, então
0{,}1932 \le \log_{2}1{,}15 \le 0{,}1932 + 0{,}0113 = 0{,}2045.
Só para confirmar qualitativa: o valor exato (calculado com logaritmos naturais) seria \log_{2}1{,}15 = \dfrac{\ln 1{,}15}{\ln 2}\approx 0{,}2016, que está dentro do intervalo acima e é maior que 0{,}1932, como esperado.

Resposta

0{,}1932

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