Questão 1 - Use interpolação linear para estimar o valor de \tan (1,15). Resolva usando a forma de Lagrange para \mathrm{n}=1, 2 e 3 . Compare os resultados.
x 1 1,1 1,2 1,3
\tan (x) 1,5574 1,9648 2,5722 3,6021

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor de \tan(1,15) usando a forma de Lagrange para \mathrm{n}=1, \mathrm{n}=2 e \mathrm{n}=3, e comparar os resultados. Os pontos e valores fornecidos estão na tabela do enunciado; eu estou explicitamente usando esses dados da tabela:
\begin{array}{c|c|c|c|c} x & 1 & 1,1 & 1,2 & 1,3\\hline \tan(x) & 1,5574 & 1,9648 & 2,5722 & 3,6021 \end{array}
As perguntas são:
  1. Estimar \tan(1,15) com a interpolação de Lagrange de grau 1 (duas pontos).
  2. Estimar \tan(1,15) com a interpolação de Lagrange de grau 2 (três pontos).
  3. Estimar \tan(1,15) com a interpolação de Lagrange de grau 3 (quatro pontos).
    Vou usar os pontos mais apropriados para cada grau (para grau 1 uso os dois pontos mais próximos; para grau 2 e 3 uso três e quatro pontos consecutivos conforme a tabela).

Passo 2

Explicação do método (fórmula de Lagrange) e notação — passo-a-passo didático:
A fórmula de interpolação de Lagrange para n (grau n) com nós x_0,x_1,\dots,x_n e valores f(x_i) é
P_n(x)=\sum_{i=0}^{n} f(x_i)\,L_i(x),
onde a base de Lagrange L_i(x) é
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
O que isto significa, em palavras simples:
  • Cada L_i(x) é um polinômio que vale 1 em x=x_i e 0 em todos os outros nós x_j com j\neq i.
  • O polinômio interpolador P_n(x) é uma combinação linear dos valores f(x_i) com coeficientes L_i(x).
    Na prática, para calcular P_n(1,15) substituímos x=1,15 nas expressões de L_i(x), calculamos cada L_i(1,15) (números), e fazemos a soma ponderada pelos f(x_i). Vou mostrar cada passo de cálculo e explicar cada multiplicação/divisão para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora (usar divisões simples com números como 0,1, 0,2 etc.).

Passo 3

Interpolação de grau \mathrm{n}=1 (linear) — escolha dos pontos e cálculo detalhado:
Escolho os dois pontos mais próximos de 1,15, que são x_0=1,1 e x_1=1,2 com
f(x_0)=1,9648,\qquad f(x_1)=2,5722.
As bases de Lagrange (grau 1) em x=1,15 são:
L_0(1,15)=\frac{1,15-1,2}{1,1-1,2}=\frac{-0,05}{-0,1}=0,5,
L_1(1,15)=\frac{1,15-1,1}{1,2-1,1}=\frac{0,05}{0,1}=0,5.
Verificação rápida: L_0+L_1=0,5+0,5=1, ótimo.
O polinômio interpolador e a estimativa são:
P_1(1,15)=f(x_0)L_0(1,15)+f(x_1)L_1(1,15)=1,9648\cdot0,5+2,5722\cdot0,5.
Cálculo detalhado:
1,9648\cdot0,5=0,9824,\qquad 2,5722\cdot0,5=1,2861.
Somando:
P_1(1,15)=0,9824+1,2861=2,2685.
Portanto, pela interpolação linear entre 1,1 e 1,2 obtemos \tan(1,15)\approx2,2685.

Passo 4

Interpolação de grau \mathrm{n}=2 (quadrática) — escolha dos pontos e cálculo detalhado:
Escolho três pontos consecutivos formando um intervalo que contém 1,15: x_0=1,0, x_1=1,1, x_2=1,2 com
f(x_0)=1,5574,\quad f(x_1)=1,9648,\quad f(x_2)=2,5722.
Calculo das bases L_i(1,15):
Para i=0:
L_0(1,15)=\frac{(1,15-1,1)(1,15-1,2)}{(1,0-1,1)(1,0-1,2)} =\frac{0,05\cdot(-0,05)}{(-0,1)\cdot(-0,2)} =\frac{-0,0025}{0,02}=-0,125.
Para i=1:
L_1(1,15)=\frac{(1,15-1,0)(1,15-1,2)}{(1,1-1,0)(1,1-1,2)} =\frac{0,15\cdot(-0,05)}{0,1\cdot(-0,1)} =\frac{-0,0075}{-0,01}=0,75.
Para i=2:
L_2(1,15)=\frac{(1,15-1,0)(1,15-1,1)}{(1,2-1,0)(1,2-1,1)} =\frac{0,15\cdot0,05}{0,2\cdot0,1} =\frac{0,0075}{0,02}=0,375.
Verificação: -0,125+0,75+0,375=1.
Agora o polinômio e a estimativa:
P_2(1,15)=f(x_0)L_0+f(x_1)L_1+f(x_2)L_2.
Cálculos detalhados:
-0,125\cdot1,5574=-0,194675,
0,75\cdot1,9648=1,4736,
0,375\cdot2,5722=0,964575.
Somando:
P_2(1,15)=-0,194675+1,4736+0,964575=2,2435.
Portanto, pela interpolação quadrática nos pontos 1,0, 1,1, 1,2 obtemos \tan(1,15)\approx2,2435.

Passo 5

Interpolação de grau \mathrm{n}=3 (cúbica) — uso de todos os quatro pontos e cálculo detalhado:
Agora uso os quatro pontos x_0=1,0, x_1=1,1, x_2=1,2, x_3=1,3 com os mesmos f dados:
f(x_0)=1,5574,\\ f(x_1)=1,9648,\\ f(x_2)=2,5722,\\ f(x_3)=3,6021.
Calculo das bases L_i(1,15) (cada uma é produto de três fatores):
Para i=0:
L_0(1,15)=\frac{(1,15-1,1)(1,15-1,2)(1,15-1,3)}{(1,0-1,1)(1,0-1,2)(1,0-1,3)} =\frac{0,05\cdot(-0,05)\cdot(-0,15)}{(-0,1)\cdot(-0,2)\cdot(-0,3)} =\frac{0,000375}{-0,006}=-0,0625.
Para i=1:
L_1(1,15)=\frac{(1,15-1,0)(1,15-1,2)(1,15-1,3)}{(1,1-1,0)(1,1-1,2)(1,1-1,3)} =\frac{0,15\cdot(-0,05)\cdot(-0,15)}{0,1\cdot(-0,1)\cdot(-0,2)} =\frac{0,001125}{0,002}=0,5625.
Para i=2:
L_2(1,15)=\frac{(1,15-1,0)(1,15-1,1)(1,15-1,3)}{(1,2-1,0)(1,2-1,1)(1,2-1,3)} =\frac{0,15\cdot0,05\cdot(-0,15)}{0,2\cdot0,1\cdot(-0,1)} =\frac{-0,001125}{-0,002}=0,5625.
Para i=3:
L_3(1,15)=\frac{(1,15-1,0)(1,15-1,1)(1,15-1,2)}{(1,3-1,0)(1,3-1,1)(1,3-1,2)} =\frac{0,15\cdot0,05\cdot(-0,05)}{0,3\cdot0,2\cdot0,1} =\frac{-0,000375}{0,006}=-0,0625.
Verificação: -0,0625+0,5625+0,5625-0,0625=1.
Agora o polinômio e a estimativa:
P_3(1,15)=\sum_{i=0}^{3} f(x_i)L_i(1,15).
Cálculos detalhados:
-0,0625\cdot1,5574=-0,0973375,
0,5625\cdot1,9648=1,1052,
0,5625\cdot2,5722=1,4468625,
-0,0625\cdot3,6021=-0,22513125.
Somando:
P_3(1,15)=-0,0973375+1,1052+1,4468625-0,22513125=2,22959375.
Arredondando de forma consistente com os dados dados (4 casas decimais), obtemos \tan(1,15)\approx2,2296 pela interpolação cúbica usando os quatro pontos.

Passo 6

Comparação dos resultados e comentário prático (motivador e útil para prova):
  • Grau 1 (linear entre 1,1 e 1,2): \;2,2685.
  • Grau 2 (quadrática com 1,0, 1,1, 1,2): \;2,2435.
  • Grau 3 (cúbica com 1,0, 1,1, 1,2, 1,3): \;2,22959375 (aproximadamente 2,2296).
Observações práticas e de prova:
  • À medida que aumentamos o grau (usando mais pontos), as estimativas se aproximam umas das outras e, normalmente, de o valor verdadeiro, desde que os pontos sejam não ruidosos e bem distribuídos. Aqui vemos uma tendência de redução do valor estimado quando subimos de grau 1 para 3.
  • Em prova, escolha nós que envolvam o ponto de interesse (preferencialmente simétricos ou, no mínimo, próximos) para reduzir erro. Para uma estimativa rápida e segura, o polinômio de grau 1 entre os dois nós imediatamente adjacentes é o mais simples e rápido; para maior precisão, usar grau 2 ou 3 se o tempo permitir.
  • Se precisar justificar qual é o “melhor”, o grau 3 tende a ser mais preciso aqui (ver tendência de convergência). Mas cuidado: graus muito altos podem oscilar se os pontos forem espaçados irregularmente (fenômeno de Runge); para intervalos curtos com dados regulares, graus maiores costumam melhorar a aproximação.

Resposta

\text{n=1: }2,2685
\text{n=2: }2,2435
\text{n=3: }2,2296

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