Questão 1 - Use interpolação linear para estimar o valor de
. Resolva usando a forma de Lagrange para
, 2 e 3 . Compare os resultados.
1
1,1
1,2
1,3
1,5574
1,9648
2,5722
3,6021
|
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1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 |
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1,5574 | 1,9648 | 2,5722 | 3,6021 |
Passo 1
O enunciado pede para estimar o valor de
usando a forma de Lagrange para
,
e
, e comparar os resultados. Os pontos e valores fornecidos estão na tabela do enunciado; eu estou explicitamente usando esses dados da tabela:
As perguntas são:
- Estimar
com a interpolação de Lagrange de grau (duas pontos). - Estimar
com a interpolação de Lagrange de grau (três pontos). - Estimar
com a interpolação de Lagrange de grau (quatro pontos).
Vou usar os pontos mais apropriados para cada grau (para grauuso os dois pontos mais próximos; para grau e uso três e quatro pontos consecutivos conforme a tabela).
Passo 2
Explicação do método (fórmula de Lagrange) e notação — passo-a-passo didático:
A fórmula de interpolação de Lagrange para (grau
) com nós
e valores
é
A fórmula de interpolação de Lagrange para
onde a base de Lagrange
é
O que isto significa, em palavras simples:
- Cada
é um polinômio que vale em e em todos os outros nós com . - O polinômio interpolador
é uma combinação linear dos valores com coeficientes .
Na prática, para calcularsubstituímos nas expressões de , calculamos cada (números), e fazemos a soma ponderada pelos . Vou mostrar cada passo de cálculo e explicar cada multiplicação/divisão para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora (usar divisões simples com números como , etc.).
Passo 3
Interpolação de grau
(linear) — escolha dos pontos e cálculo detalhado:
Escolho os dois pontos mais próximos de , que são
e
com
Escolho os dois pontos mais próximos de
As bases de Lagrange (grau 1) em
são:
Verificação rápida:
, ótimo.
O polinômio interpolador e a estimativa são:
O polinômio interpolador e a estimativa são:
Cálculo detalhado:
Somando:
Portanto, pela interpolação linear entre
e
obtemos
.
Passo 4
Interpolação de grau
(quadrática) — escolha dos pontos e cálculo detalhado:
Escolho três pontos consecutivos formando um intervalo que contém :
,
,
com
Escolho três pontos consecutivos formando um intervalo que contém
Calculo das bases
:
Para
:
Para
:
Para
:
Verificação:
.
Agora o polinômio e a estimativa:
Cálculos detalhados:
Somando:
Portanto, pela interpolação quadrática nos pontos
,
,
obtemos
.
Passo 5
Interpolação de grau
(cúbica) — uso de todos os quatro pontos e cálculo detalhado:
Agora uso os quatro pontos ,
,
,
com os mesmos
dados:
Agora uso os quatro pontos
Calculo das bases
(cada uma é produto de três fatores):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Verificação:
.
Agora o polinômio e a estimativa:
Cálculos detalhados:
Somando:
Arredondando de forma consistente com os dados dados (4 casas decimais), obtemos
pela interpolação cúbica usando os quatro pontos.
Passo 6
Comparação dos resultados e comentário prático (motivador e útil para prova):
- Grau
(linear entre e ): . - Grau
(quadrática com , , ): . - Grau
(cúbica com , , , ): (aproximadamente ).
Observações práticas e de prova:
- À medida que aumentamos o grau (usando mais pontos), as estimativas se aproximam umas das outras e, normalmente, de o valor verdadeiro, desde que os pontos sejam não ruidosos e bem distribuídos. Aqui vemos uma tendência de redução do valor estimado quando subimos de grau
para . - Em prova, escolha nós que envolvam o ponto de interesse (preferencialmente simétricos ou, no mínimo, próximos) para reduzir erro. Para uma estimativa rápida e segura, o polinômio de grau
entre os dois nós imediatamente adjacentes é o mais simples e rápido; para maior precisão, usar grau ou se o tempo permitir. - Se precisar justificar qual é o “melhor”, o grau
tende a ser mais preciso aqui (ver tendência de convergência). Mas cuidado: graus muito altos podem oscilar se os pontos forem espaçados irregularmente (fenômeno de Runge); para intervalos curtos com dados regulares, graus maiores costumam melhorar a aproximação.