Uma máquina automática de encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com média
e variância
valor de
pode ser fixado num mostrador situado numa posição um pouco inacessível dessa máquina. A máquina foi regulada para
. Desejamos, de meia em meia hora, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob controle, isto é, se
ou não. Se uma dessas amostra apresentasse uma média
, você pararia ou não a produção para verificar se o mostrador está na posição correta? Usar
.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, com nível de significância
, se a produção está sob controle (ou seja, se
) a partir de uma amostra de tamanho
que apresentou média amostral
. Dados fornecidos:
Pergunta explícita: se uma amostra apresentou
, você pararia a produção para verificar o mostrador (isto é, rejeitaria
)?
Passo 2
Formulamos as hipóteses nulas e alternativas (duas faces, porque queremos saber se
é diferente de
, para mais ou para menos):
Explicação rápida:
é a situação “produção sob controle”.
diz que a média mudou (qualquer direção). Como a variância é conhecida, usaremos um teste baseado na distribuição normal padrão.
Passo 3
Escolha do teste e estatística:
- Quando a população é normal e a variância
é conhecida, o melhor teste para a média é o teste (teste z). - A estatística de teste é a posição padronizada da média amostral:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (observada: ). -
é o valor sob (aqui ). -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é a raiz do tamanho da amostra (aqui ). - A razão
é o erro padrão da média: quanto, em média, a média da amostra varia em torno da média verdadeira.
Justificativa do uso: a distribuição da média amostral é normal com média
e desvio padrão
. Como
é conhecida, podemos padronizar e usar a normal padrão.
Passo 4
Critério de decisão (nível
, teste bilateral):
- Em um teste bilateral, dividimos
nas duas caudas: cada cauda tem área . - Os valores críticos são
. Procurando na tabela da normal padrão:
- Regra: rejeitar
se . Caso contrário, não rejeitar .
Passo 5
Cálculo do erro padrão e da estatística observada:
- Primeiro o erro padrão da média:
- Agora a estatística
com os valores observados:
Mostrei cada operação: subtraiu-se
de
dando
, depois dividiu por
resultando em
.
Passo 6
Comparação com região crítica e decisão:
- Temos
. - O limite crítico é
. - Como
, não rejeitamos ao nível .
Interpretação prática: a média observadapode ocorrer por variação amostral natural quando a verdadeira média é ; não há evidência suficiente, ao nível de , para afirmar que o mostrador está ajustado incorretamente.
Passo 7
Cálculo do valor-p (para reforçar a conclusão):
- Para um
o valor da cauda esquerda é (onde é a CDF da normal padrão). - Em teste bilateral o valor-p é
:
- Como
, o resultado não é estatisticamente significativo ao nível . O valor-p nos dá a probabilidade, sob , de obter uma média tão ou mais extrema que a observada; aqui essa probabilidade é cerca de , bem maior que .
Passo 8
Conclusão prática e sugestão:
- Decisão: não parar a produção com base apenas nessa amostra, porque não há evidência estatística forte (ao nível
) de que difira de . - Sugestão operacional (amigável para a prova): se você estiver preocupado com desvios menos extremos, poderia aumentar a frequência de amostragem, aumentar
por amostra, ou usar um nível de significância maior (por exemplo ) — mas com o critério pedido ( ) a amostra observada não justifica parada e verificação imediata. - Motivação encorajadora: você fez corretamente as contas — em prova, basta lembrar do passo a passo: hipóteses, estatística
(quando conhecida), calcular , comparar com ou calcular valor-p.
Resposta
Não, não pararia a produção. Não há evidência suficiente ao nível
de que
(
; valor-p
).