Uma máquina automática de encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com média \mu e variância 400 \mathrm{~g}^{2} . \mathrm{O} valor de \mu pode ser fixado num mostrador situado numa posição um pouco inacessível dessa máquina. A máquina foi regulada para \mu=500 \mathrm{~g}. Desejamos, de meia em meia hora, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob controle, isto é, se \mu=500 \mathrm{~g} ou não. Se uma dessas amostra apresentasse uma média \bar{x}=492 \mathrm{~g}, você pararia ou não a produção para verificar se o mostrador está na posição correta? Usar \alpha=1 \%.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, com nível de significância \alpha=1\%, se a produção está sob controle (ou seja, se \mu=500\\ \mathrm{g}) a partir de uma amostra de tamanho n=16 que apresentou média amostral \bar{x}=492\\ \mathrm{g}. Dados fornecidos:
\text{variância } \sigma^{2}=400\\ \mathrm{g}^{2},\quad \Rightarrow\quad \sigma=20\\ \mathrm{g},â
\mu_{0}=500\\ \mathrm{g}\quad(\text{valor com que a máquina foi regulada}),á
n=16,\quad \bar{x}=492\\ \mathrm{g},\quad \alpha=1\%.
Pergunta explícita: se uma amostra apresentou \bar{x}=492\\ \mathrm{g}, você pararia a produção para verificar o mostrador (isto é, rejeitaria \mu=500\\ \mathrm{g})?

Passo 2

Formulamos as hipóteses nulas e alternativas (duas faces, porque queremos saber se \mu é diferente de 500\\ \mathrm{g}, para mais ou para menos):
H_{0}:\\ \mu=500\\ \mathrm{g}
H_{1}:\\ \mu\neq500\\ \mathrm{g}
Explicação rápida: H_{0} é a situação “produção sob controle”. H_{1} diz que a média mudou (qualquer direção). Como a variância é conhecida, usaremos um teste baseado na distribuição normal padrão.

Passo 3

Escolha do teste e estatística:
  • Quando a população é normal e a variância \sigma^{2} é conhecida, o melhor teste para a média é o teste Z (teste z).
  • A estatística de teste é a posição padronizada da média amostral:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média amostral (observada: \bar{x}=492).
  • \mu_{0} é o valor sob H_{0} (aqui 500).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui 20).
  • \sqrt{n} é a raiz do tamanho da amostra (aqui \sqrt{16}=4).
  • A razão \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média: quanto, em média, a média da amostra varia em torno da média verdadeira.
Justificativa do uso: a distribuição da média amostral é normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Como \sigma é conhecida, podemos padronizar e usar a normal padrão.

Passo 4

Critério de decisão (nível \alpha=1\%, teste bilateral):
  • Em um teste bilateral, dividimos \alpha nas duas caudas: cada cauda tem área \alpha/2=0{,}005.
  • Os valores críticos são \pm z_{1-\alpha/2}. Procurando na tabela da normal padrão:
z_{1-0{,}005}=z_{0{,}995}\approx 2{,}576.
  • Regra: rejeitar H_{0} se |Z|>2{,}576. Caso contrário, não rejeitar H_{0}.

Passo 5

Cálculo do erro padrão e da estatística observada:
  • Primeiro o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{16}}=\frac{20}{4}=5\\ \mathrm{g}.
  • Agora a estatística Z com os valores observados:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{492-500}{5}=\frac{-8}{5}=-1{,}6.
Mostrei cada operação: subtraiu-se 500 de 492 dando -8, depois dividiu por 5 resultando em -1{,}6.

Passo 6

Comparação com região crítica e decisão:
  • Temos |Z|=1{,}6.
  • O limite crítico é 2{,}576.
  • Como 1{,}6<2{,}576, não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=1\%.
    Interpretação prática: a média observada 492\\ \mathrm{g} pode ocorrer por variação amostral natural quando a verdadeira média é 500\\ \mathrm{g}; não há evidência suficiente, ao nível de 1\%, para afirmar que o mostrador está ajustado incorretamente.

Passo 7

Cálculo do valor-p (para reforçar a conclusão):
  • Para um Z=-1{,}6 o valor da cauda esquerda é \Phi(-1{,}6)\approx0{,}0548 (onde \Phi é a CDF da normal padrão).
  • Em teste bilateral o valor-p é 2\Phi(-|Z|):
\text{valor-p}=2\Phi(-1{,}6)\approx2\times0{,}0548=0{,}1096.
  • Como 0{,}1096\gg0{,}01, o resultado não é estatisticamente significativo ao nível \alpha=1\%. O valor-p nos dá a probabilidade, sob H_{0}, de obter uma média tão ou mais extrema que a observada; aqui essa probabilidade é cerca de 10{,}96\%, bem maior que 1\%.

Passo 8

Conclusão prática e sugestão:
  • Decisão: não parar a produção com base apenas nessa amostra, porque não há evidência estatística forte (ao nível \alpha=1\%) de que \mu difira de 500\\ \mathrm{g}.
  • Sugestão operacional (amigável para a prova): se você estiver preocupado com desvios menos extremos, poderia aumentar a frequência de amostragem, aumentar n por amostra, ou usar um nível de significância maior (por exemplo \alpha=5\%) — mas com o critério pedido ( \alpha=1\%) a amostra observada não justifica parada e verificação imediata.
  • Motivação encorajadora: você fez corretamente as contas — em prova, basta lembrar do passo a passo: hipóteses, estatística Z (quando \sigma conhecida), calcular Z, comparar com z_{1-\alpha/2} ou calcular valor-p.

Resposta

Não, não pararia a produção. Não há evidência suficiente ao nível \alpha=1\% de que \mu\neq500 ( Z=-1{,}6; valor-p \approx0{,}1096).

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