Calcule
arco da parabola
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o comprimento (arco) da parábola dada por
no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva é
.\n - O intervalo de
é .\n
Pergunta: encontrar o comprimento da curva entree .
Passo 2
Fórmula que vamos usar: para uma curva dada por
com derivada
contínua em
, o comprimento
do arco é
Explicando:
é a derivada de
(a inclinação da tangente em cada ponto). A expressão
vem da aproximação de cada pequeno pedaço de curva por um segmento de reta e do teorema de Pitágoras aplicado ao diferencial de comprimento
, onde
.
Passo 3
Calculo a derivada de
:
Substituindo na fórmula do comprimento com
e
,
Passo 4
Para integrar
uso a fórmula conhecida (que pode ser obtida por substituição hiperbólica ou por partes):
onde
é constante. Aqui vamos ajustar nossa integral para caber nesta forma.
Passo 5
Note que
Logo, colocando
,
Aplicando a fórmula da etapa anterior:
Passo 6
Agora avalio a integral definida de
a
. Lembrando que
e
,
Calculo em
:
Calculo em
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Passo 7
Simplifico o termo logarítmico usando propriedades de logaritmo:
Portanto o comprimento final fica