Calcule o arco da parabola y=x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o comprimento (arco) da parábola dada por y=x^{2} no intervalo 0\leqslant x\leqslant 1.\n
Informações dadas:
  • A curva é y=x^{2}.\n
  • O intervalo de x é [0,1].\n
    Pergunta: encontrar o comprimento da curva entre x=0 e x=1.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: para uma curva dada por y=f(x) com derivada f'(x) contínua em [a,b], o comprimento L do arco é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando: f'(x) é a derivada de f (a inclinação da tangente em cada ponto). A expressão \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem da aproximação de cada pequeno pedaço de curva por um segmento de reta e do teorema de Pitágoras aplicado ao diferencial de comprimento ds, onde ds\approx\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculo a derivada de y=x^{2}:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Substituindo na fórmula do comprimento com a=0 e b=1,
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(2x)^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para integrar \int\sqrt{1+4x^{2}}\,dx uso a fórmula conhecida (que pode ser obtida por substituição hiperbólica ou por partes):
\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)+C,
onde a>0 é constante. Aqui vamos ajustar nossa integral para caber nesta forma.

Passo 5

Note que
\sqrt{1+4x^{2}}=2\sqrt{x^{2}+\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}}.
Logo, colocando a=\tfrac{1}{2},
\int\sqrt{1+4x^{2}}\,dx=2\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx.
Aplicando a fórmula da etapa anterior:
2\left(\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)\right) = x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)+C.

Passo 6

Agora avalio a integral definida de 0 a 1. Lembrando que a=\tfrac{1}{2} e a^{2}=\tfrac{1}{4},
L=\Bigl[\,x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)\Bigr]_{0}^{1}.
Calculo em x=1:
1\cdot\sqrt{1+\tfrac{1}{4}}+\tfrac{1}{4}\ln\Bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{1}{4}}\Bigr) =\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\ln\Bigl(1+\frac{\sqrt{5}}{2}\Bigr).
Calculo em x=0:
0\cdot\sqrt{0+a^{2}}+\tfrac{1}{4}\ln\bigl(0+\sqrt{a^{2}}\bigr) =\frac{1}{4}\ln\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr).
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0):
L=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\ln\Bigl(1+\frac{\sqrt{5}}{2}\Bigr)-\frac{1}{4}\ln\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr).

Passo 7

Simplifico o termo logarítmico usando propriedades de logaritmo:
\frac{1}{4}\Bigl(\ln\bigl(1+\tfrac{\sqrt{5}}{2}\bigr)-\ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{4}\ln\Bigl(\frac{1+\tfrac{\sqrt{5}}{2}}{\tfrac{1}{2}}\Bigr) =\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
Portanto o comprimento final fica
L=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)

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