Calcule: arcsen(-raiz32)
30. Prove que sen : [-pi2, pi2] R é estritamente crescente.

Passo 1

O enunciado pede duas partes: calcular arcsinl(-tfracraiz32r) e provar que sincolon[-tfracpi2,tfracpi2]toR é estritamente crescente. Vamos usar valores notáveis de sin, a imparidade da função e uma identidade trigonométrica para a monotonicidade.

Passo 2

Para calcular arcsinl(-tfracraiz32r), buscamos tin[-tfracpi2,tfracpi2] tal que sin t=-tfracraiz32. Como sin(tfracpi3)=tfracraiz32 e sin é ímpar, temos sin(-tfracpi3)=-tfracraiz32. Logo arcsin(-tfracraiz32)=-tfracpi3.

Passo 3

Para provar que sin é estritamente crescente em [-tfracpi2,tfracpi2], considere x1 nesse intervalo. Pela fórmula de diferença:
sin(x2)-sin(x1)=2cosl(x1+x22r)cdotsinl(x2-x12r)

Passo 4

Como tfracx1+x22in(-tfracpi2,tfracpi2), segue cosl(x1+x22r)>0. E x2-x1>0 implica tfracx2-x12in(0,pi), logo sinl(tfracx2-x12r)>0. Assim sin(x2)-sin(x1)>0, o que prova a monotonicidade estrita.

Resposta

arcsinl(-tfracraiz32r)=-tfracpi3 e a função sin:l[-tfracpi2,tfracpi2r]toR é estritamente crescente.

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