Calcule integral0^1 integral0^x(x+y+1) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^1!integral0^x(x+y+1),dy,dx. O conteúdo aqui é integrais duplas escritas como integrais iteradas, e vamos usar o fato de que podemos integrar primeiro em y (mantendo x fixo) e depois em x.

Passo 2

Para integrar em y, consideramos x como constante e encontramos uma antiderivada de x+y+1 em relação a y. Uma primitiva é
F(y)=x,y+y^22+y

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva de y=0 até y=x:
integral0^x(x+y+1),dy=F(x)-F(0)=l(xcdot x+tfracx^22+xr)-0=tfrac32x^2+x

Passo 4

Fica então
integral0^1!integral0^x(x+y+1),dy,dx=integral0^1l(tfrac32x^2+xr)dx

Passo 5

Basta agora integrar em x:
integral0^1l(tfrac32x^2+xr)dx=32cdotx^33|0^1+x^22|0^1=12+12=1

Resposta

1

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