Encontre por integração dupla a área da região xy, limitado pelas curvas y=x^2 e y=x+2

Passo 1

Estamos com a região limitada pelas curvas y = x^2 (uma parábola) e y = x + 2 (uma reta) e queremos calcular a área dessa região usando integração dupla, ou seja, vamos tratar a área como integral duplaD 1,dA.

Passo 2

Primeiro, achamos onde as duas curvas se cruzam resolvendo x^2 = x + 2. Isso dá<br> x^2 - x - 2 = 0 Rightarrow x = -1 ou x = 2<br>Logo o domínio D em coordenadas (x,y) é<br> -1 <= x <= 2, x^2 <= y <= x + 2

Passo 3

Agora montamos a integral dupla para área: queremos<br> A = integral duplaD 1,dA = integralx=-1^2 l( integraly=x^2^x+2 1,dy r) dx

Passo 4

Fazendo a integral interna em y:<br> integraly=x^2^x+2 1,dy = (x + 2) - x^2<br>Então<br> A = integral-1^2 l(x + 2 - x^2r) dx

Passo 5

Basta agora integrar em relação a x:<br>uma primitiva de x + 2 - x^2 é<br> F(x) = tfrac12 x^2 + 2x - tfrac13 x^3<br>Avaliando de -1 a 2:<br> A = F(2) - F(-1) = l(2 + 4 - tfrac83r) - l(tfrac12 - 2 + tfrac13r) = tfrac92

Resposta

92

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