Calcule arctg (14) com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular arctan!l(tfrac14r) com precisão de quatro casas decimais. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor de arctan(x) em torno de x=0, válida para |x|<=1.

Passo 2

A série de Taylor de arctan(x) é
arctan(x);=;sumk=0^infty(-1)^k,x^2k+12k+1
ou seja
arctan(x)=x - x^33 + x^55 - x^77 + cdots

Passo 3

Agora tomamos x=tfrac14 e calculamos termos até que sua magnitude seja menor que 10^-5, garantindo erro ínfimo para quatro casas decimais:
T0=14=0,2500000000,
T1=-(tfrac14)^33=-13cdot164=-0,0052083333,
T2=+(tfrac14)^55=+15cdot11024=+0,0001953125,
T3=-(tfrac14)^77=-17cdot116384approx-0,0000087193,
T4=+(tfrac14)^99=+19cdot1262144approx+0,0000016954
Somando até T4:
0,2500000000 - 0,0052083333 + 0,0001953125 - 0,0000087193 + 0,0000016954 approx 0,244980,,
e incluindo o próximo termo T5 o valor converge para aproximadamente 0,24497866.

Passo 4

Para quatro casas decimais, observamos os cinco primeiros dígitos depois da vírgula:
0,2449underbrace7arredonda para cima ;longrightarrow;0,2450

Resposta

arctan!l(tfrac14r)approx0,2450

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