Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
integral x(x+3)(x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x(x+3)(x+1),dx
utilizando a tabela de integrais (ou regra do polinômio) e depois conferir o resultado derivando. Vamos usar expansão de polinômios e a regra do expoente para integrais.

Passo 2

Expandimos o integrando:
x(x+3)(x+1)=xl(x^2+4x+3r)=x^3+4x^2+3x

Passo 3

Integramos termo a termo usando integral x^n,dx=tfracx^n+1n+1+C:
integral x^3,dx=x^44, integral 4x^2,dx=4cdotx^33=4x^33, integral 3x,dx=3cdotx^22=3x^22
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F(x)=x^44+4x^33+3x^22+C

Passo 4

Para conferir, derivamos F(x):
F'(x)=ddxl(tfracx^44r)+ddxl(tfrac4x^33r)+ddxl(tfrac3x^22r) =x^3+4x^2+3x,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

boxedintegral x(x+3)(x+1),dx = x^44+4x^33+3x^22+C

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