Calcule a área acima do eixo x do gráfico de f:[-3,3] R dada por f(x)=x^2-3 x+2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área acima do eixo x do gráfico de f(x)=x^2-3x+2 em [-3,3]. O conteúdo envolve integrals definidas e área entre curva e eixo x. Vamos precisar encontrar onde f(x) muda de sinal e depois integrar nos trechos onde f(x)>=0.

Passo 2

Para achar onde o gráfico cruza o eixo x, resolvemos a equação x^2-3x+2=0. Fatorando obtém-se (x-1)(x-2)=0, logo as raízes são x=1 e x=2.

Passo 3

Agora fazemos análise de sinal de f(x). Testando um ponto em cada intervalo: para x<1, em x=0 temos f(0)=2>0; para 1, em x=1.5 temos f(1.5)=-0.25<0; para x>2, em x=3 temos f(3)=2>0. Assim f(x)>=0 em [-3,1] e em [2,3].

Passo 4

A área acima do eixo x é a soma das integrais de f nesses intervalos:
$$\int_{-3}{1}(x2-3x+2),dx;+
\int_{2}{3}(x2-3x+2),dx.$$

Passo 5

Calculamos uma primitiva de f:
F(x)=x^33-3x^22+2x

Passo 6

Agora avaliamos cada integral:
Para o primeiro trecho:
F(1)-F(-3)=l(tfrac13-tfrac32+2r)-l(tfrac-273-tfrac3cdot92-6r)=883
Para o segundo trecho:
F(3)-F(2)=l(9-tfrac272+6r)-l(tfrac83-6+4r)=56

Passo 7

Somando as duas áreas obtemos
883+56=1766+56=1816

Resposta

tfrac1816

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