Calcule as integrais que seguem:
integral(x^2-7x^3+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralx^2-7x^3+x,dx. O conteúdo envolvido é integração de função racional e vamos precisar usar decomposição em frações parciais, além das integrais básicas de 1/x e de x/(x^2+1).

Passo 2

Observando que x^3+x=x(x^2+1), escrevemos a fração como
x^2-7x(x^2+1)=Ax+Bx+Cx^2+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) temos
x^2-7=A(x^2+1)+(Bx+C)x=(A+B)x^2+Cx+A
Igualando coeficientes: para x^2: A+B=1; para x: C=0; termo constante: A=-7. Logo A=-7, B=1-(-7)=8 e C=0.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integralx^2-7x^3+x,dx=integrall(-7x+8xx^2+1r)dx = -7integraldxx+8integralxx^2+1,dx

Passo 5

Calculando cada parte: integraldxx=ln|x|+C1 e, com u=x^2+1, du=2x,dx, temos
8integralxx^2+1,dx=4integralduu=4ln(u)+C2=4ln(x^2+1)+C2
Somando constantes, a primitiva é
-7ln|x|+4ln(x^2+1)+C

Resposta

-7\ln|x|+4\ln(x^2+1)+C

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