Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral3^5 x^3 cos (2 x^4) d x

Passo 1

No enunciado, a gente precisa calcular a integral definida de
integral3^5 x^3 cosl(2x^4r),dx
O conteúdo aqui é mudança de variável (u-substituição), porque o argumento do cosseno é uma função composta de x.

Passo 2

Vamos escolher a substituição que simplifica o integrando: seja u = 2x^4. Então
du = 8x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = du8
Também atualizamos os limites: quando x=3, u=2cdot3^4=162; quando x=5, u=2cdot5^4=1250.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral3^5 x^3 cosl(2x^4r),dx = integral162^1250 cos(u) cdot du8 = 18 integral162^1250 cos(u),du

Passo 4

Agora basta integrar cos(u). A primitiva de cos(u) é sin(u), então
18 integral162^1250 cos(u),du = 18l[sin(u)r]162^1250 = 18l(sin(1250)-sin(162)r)

Passo 5

Não há mais simplificações algébricas porque os valores de sin(1250) e sin(162) não são ângulos especiais em radianos. Então encerramos aí.

Resposta

18l(sin(1250)-sin(162)r)

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