Calcule a área do circulo de raio R centrado na origem.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a área do círculo de raio R centrado na origem. Informações dadas que vou usar:
O raio do círculo é R (número positivo).
O centro está na origem, então o círculo é o conjunto de pontos \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}.
A pergunta é: qual é a área dessa região?
Passo 2
Ideia para calcular a área (explicação bem básica e visual): imaginemos o círculo como formado por muitas tiras verticais muito finas, cada uma com largura \mathrm{d}x e altura igual à distância entre a parte superior e a inferior do círculo naquele x. A área de uma tira é aproximadamente altura \times largura, e somando todas as tiras (integrando) obtemos a área total. A equação da circunferência fornece a altura superior y_{\text{top}}=\sqrt{R^{2}-x^{2}} e a inferior y_{\text{bot}}=-\sqrt{R^{2}-x^{2}}. Portanto a altura da tira é
Aqui eu expliquei cada termo: x é a abscissa da tira, \mathrm{d}x é a largura infinitesimal da tira, e integro de -R a R porque o círculo ocupa esse intervalo em x.
Passo 3
Vamos calcular a integral usando uma substituição trigonométrica para apagar a raiz. Defino a substituição
x=R\sin\theta.
Explico por que: então R^{2}-x^{2}=R^{2}(1-\sin^{2}\theta)=R^{2}\cos^{2}\theta, que tem raiz fácil. Também \mathrm{d}x=R\cos\theta\; \mathrm{d}\theta. Os limites em x se transformam em limites em \theta:
quando x=-R temos \sin\theta=-1 portanto \theta=-\tfrac{\pi}{2};
quando x=R temos \sin\theta=1 portanto \theta=\tfrac{\pi}{2}.
Além disso, no intervalo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] temos \cos\theta\ge 0, então \sqrt{R^{2}-x^{2}}=R\cos\theta sem ambiguidade de sinal.
Somando os dois resultados e multiplicando por R^{2},
A=R^{2}\bigl(\pi+0\bigr)=\pi R^{2}.
Passo 7
Concluímos que a área do círculo de raio R centrado na origem é \pi R^{2}. Pequeno check mental: se R=1 a área fica \pi, que é o valor conhecido do círculo unitário — faz sentido.