Calcule a área do circulo de raio R centrado na origem.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a área do círculo de raio R centrado na origem. Informações dadas que vou usar:
  • O raio do círculo é R (número positivo).
  • O centro está na origem, então o círculo é o conjunto de pontos \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}.
  • A pergunta é: qual é a área dessa região?

Passo 2

Ideia para calcular a área (explicação bem básica e visual): imaginemos o círculo como formado por muitas tiras verticais muito finas, cada uma com largura \mathrm{d}x e altura igual à distância entre a parte superior e a inferior do círculo naquele x. A área de uma tira é aproximadamente altura \times largura, e somando todas as tiras (integrando) obtemos a área total. A equação da circunferência fornece a altura superior y_{\text{top}}=\sqrt{R^{2}-x^{2}} e a inferior y_{\text{bot}}=-\sqrt{R^{2}-x^{2}}. Portanto a altura da tira é
y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=2\sqrt{R^{2}-x^{2}}.
Assim a área A é dada por
A=\int_{-R}^{R} 2\sqrt{R^{2}-x^{2}}\; \mathrm{d}x.
Aqui eu expliquei cada termo: x é a abscissa da tira, \mathrm{d}x é a largura infinitesimal da tira, e integro de -R a R porque o círculo ocupa esse intervalo em x.

Passo 3

Vamos calcular a integral usando uma substituição trigonométrica para apagar a raiz. Defino a substituição
x=R\sin\theta.
Explico por que: então R^{2}-x^{2}=R^{2}(1-\sin^{2}\theta)=R^{2}\cos^{2}\theta, que tem raiz fácil. Também \mathrm{d}x=R\cos\theta\; \mathrm{d}\theta. Os limites em x se transformam em limites em \theta:
  • quando x=-R temos \sin\theta=-1 portanto \theta=-\tfrac{\pi}{2};
  • quando x=R temos \sin\theta=1 portanto \theta=\tfrac{\pi}{2}.
    Além disso, no intervalo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] temos \cos\theta\ge 0, então \sqrt{R^{2}-x^{2}}=R\cos\theta sem ambiguidade de sinal.

Passo 4

Faço a substituição na integral. Partindo de
A=\int_{-R}^{R} 2\sqrt{R^{2}-x^{2}}\; \mathrm{d}x,
substituindo x=R\sin\theta, \mathrm{d}x=R\cos\theta\; \mathrm{d}\theta e \sqrt{R^{2}-x^{2}}=R\cos\theta, obtemos
A=2\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(R\cos\theta\bigr)\bigl(R\cos\theta\bigr)\; \mathrm{d}\theta =2R^{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\; \mathrm{d}\theta.
Expliquei o produto: um fator R\cos\theta vem da raiz e outro vem do \mathrm{d}x.

Passo 5

Agora preciso integrar \cos^{2}\theta. Uso a identidade trigonométrica (derivada da fórmula do cosseno de ângulo duplo):
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Explico rapidamente: \cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta-1, reorganizando dá \cos^{2}\theta=(1+\cos 2\theta)/2. Substituindo isso na integral,
A=2R^{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2}\; \mathrm{d}\theta =R^{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(1+\cos 2\theta\bigr)\; \mathrm{d}\theta.

Passo 6

Calculo a integral término a termo. Primeiro
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\; \mathrm{d}\theta = \left.\theta\right|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\pi.
Segundo,
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos 2\theta\; \mathrm{d}\theta =\left.\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} =\tfrac{1}{2}\bigl(\sin \pi-\sin(-\pi)\bigr)=\tfrac{1}{2}(0-0)=0.
Somando os dois resultados e multiplicando por R^{2},
A=R^{2}\bigl(\pi+0\bigr)=\pi R^{2}.

Passo 7

Concluímos que a área do círculo de raio R centrado na origem é \pi R^{2}. Pequeno check mental: se R=1 a área fica \pi, que é o valor conhecido do círculo unitário — faz sentido.

Resposta

\pi R^{2}

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