Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é o semicírculo superior definido por
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o semicírculo superior dado por
e
.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
- A região
é o disco de raio cortado pela reta , ou seja, o semicírculo superior. - A função a ser integrada é
. - O enunciado pede explicitamente que a integral seja colocada em coordenadas polares (e então calculada).
Passo 2
Lembrete prático sobre coordenadas polares e elemento de área (a parte chata, mas rápida): em coordenadas polares usamos
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo polar. O elemento de área em coordenadas polares é
Por que vem esse fator
? Intuitivamente: um pequeno incremento em
em raio
gera um arco de comprimento aproximadamente
; multiplicando por
obtemos a área aproximada de um retângulo curvo
. Formalmente isso vem do determinante da Jacobiana da transformação
.
Passo 3
Vamos escrever o integrando em polares. Substituindo
e
,
Usando a identidade trigonométrica
, fica mais compacto:
Passo 4
Determinar os limites da região
em coordenadas polares. Como
é o semicírculo superior de raio
:
-
varia de até : . -
varia do eixo positivo até o eixo negativo passando pelo semicírculo superior, ou seja .
Portanto os limites são
e
.
Passo 5
Montando a integral dupla em polares, substituímos o integrando e o elemento de área:
Simplificando o fator
,
Note que a integral é separável em
e
porque
não depende de
.
Passo 6
Calcule a integral interna em
:
Assim a integral dupla fica
Passo 7
Calcule a integral em
. Usamos que uma primitiva de
é
:
Então a integral total é
Passo 8
Interpretação rápida (útil para prova): o integrando em polares é
. O fator
tem média zero sobre
, por isso a integral angular se anula. Geometricamente, áreas positivas e negativas sobre o semicírculo superior cancelam-se.