Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right) d A, onde R é o semicírculo superior definido por x^{2}+y^{2} \leq 1, y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dA,
onde R é o semicírculo superior dado por x^{2}+y^{2}\le 1 e y\ge 0.
Informações importantes dadas:
  • A região R é o disco de raio 1 cortado pela reta y=0, ou seja, o semicírculo superior.
  • A função a ser integrada é x^{2}-y^{2}.
  • O enunciado pede explicitamente que a integral seja colocada em coordenadas polares (e então calculada).

Passo 2

Lembrete prático sobre coordenadas polares e elemento de área (a parte chata, mas rápida): em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar. O elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Por que vem esse fator r? Intuitivamente: um pequeno incremento em \theta em raio r gera um arco de comprimento aproximadamente r\,d\theta; multiplicando por dr obtemos a área aproximada de um retângulo curvo r\,d\theta\cdot dr. Formalmente isso vem do determinante da Jacobiana da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).

Passo 3

Vamos escrever o integrando em polares. Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta,
x^{2}-y^{2} = r^{2}\big(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\big).
Usando a identidade trigonométrica \cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta, fica mais compacto:
x^{2}-y^{2} = r^{2}\cos 2\theta.

Passo 4

Determinar os limites da região R em coordenadas polares. Como R é o semicírculo superior de raio 1:
  • r varia de 0 até 1: 0\le r\le 1.
  • \theta varia do eixo positivo x até o eixo negativo passando pelo semicírculo superior, ou seja 0\le \theta\le \pi.
Portanto os limites são r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi].

Passo 5

Montando a integral dupla em polares, substituímos o integrando e o elemento de área:
\iint_{R} (x^{2}-y^{2})\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} \big(r^{2}\cos 2\theta\big)\cdot r\,dr\,d\theta.
Simplificando o fator r,
\iint_{R} (x^{2}-y^{2})\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos 2\theta\,dr\,d\theta.
Note que a integral é separável em r e \theta porque \cos 2\theta não depende de r.

Passo 6

Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Assim a integral dupla fica
\iint_{R} (x^{2}-y^{2})\,dA = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\cos 2\theta\,d\theta.

Passo 7

Calcule a integral em \theta. Usamos que uma primitiva de \cos 2\theta é \tfrac{1}{2}\sin 2\theta:
\int_{0}^{\pi}\cos 2\theta\,d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{2}\big(\sin 2\pi - \sin 0\big) = \tfrac{1}{2}(0-0)=0.
Então a integral total é
\iint_{R} (x^{2}-y^{2})\,dA = \frac{1}{4}\cdot 0 = 0.

Passo 8

Interpretação rápida (útil para prova): o integrando em polares é r^{3}\cos 2\theta. O fator \cos 2\theta tem média zero sobre [0,\pi], por isso a integral angular se anula. Geometricamente, áreas positivas e negativas sobre o semicírculo superior cancelam-se.

Resposta

0

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