Calcule \iint_{D} x^{3} d A, D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 1 \leq x \leq e, 0 \leq y \leq \ln x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} x^{3}\,dA,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le e,\; 0\le y\le \ln x\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
\;1) o integrando é \;x^{3};\n
\;2) a variável x varia de \;1 até \;e;\n
\;3) para cada x fixo, a variável y varia de \;0 até \;\ln x.\n
A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla acima sobre essa região D.

Passo 2

Como o limite em y depende de x (temos 0\le y\le \ln x), a forma natural é escrever a integral como integral iterada em y primeiro e depois em x. Usando a regra de integração iterada para regiões deste tipo,
\iint_{D} x^{3}\,dA = \int_{x=1}^{e}\left(\int_{y=0}^{\ln x} x^{3}\,dy\right)dx.
Observação importante (didática): dentro da integral interna a função \;x^{3} é vista como uma constante em relação a y, porque estamos integrando em y com x fixo.

Passo 3

Calculo da integral interna em y:
\int_{y=0}^{\ln x} x^{3}\,dy.
Como x^{3} é constante em relação a y, tiramos fora da integral:
\int_{0}^{\ln x} x^{3}\,dy = x^{3}\int_{0}^{\ln x} 1\,dy = x^{3}\bigl(y\bigr)\Big|_{0}^{\ln x} = x^{3}\ln x.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx.
Aqui vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê da escolha das partes:
  • Fórmula de integração por partes (definida para integrais indefinidas): se u=u(x) e v=v(x) são diferenciáveis e dv é uma diferencial, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Nessa fórmula u é uma função cuja derivada du fica mais simples, e dv é o resto que conseguimos integrar para obter v.
  • Escolha prática: tomamos \;u=\ln x (porque sua derivada é simples: du=\dfrac{1}{x}\,dx) e \;dv=x^{3}\,dx (porque é fácil integrar x^{3} para obter v).

Passo 5

Calcule du e v a partir da escolha:
u=\ln x \quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx,
dv=x^{3}\,dx \quad\Rightarrow\quad v=\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{3}\ln x\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integral restante:
\int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{16}.
Logo uma primitiva é
\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16} + C.

Passo 6

Agora aplicamos os limites de 1 a e:
Calcule a primitiva em x=e:
\frac{e^{4}}{4}\ln e - \frac{e^{4}}{16} = \frac{e^{4}}{4}\cdot 1 - \frac{e^{4}}{16} = e^{4}\Big(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\Big)=e^{4}\cdot\frac{3}{16}=\frac{3e^{4}}{16}.
Calcule a primitiva em x=1:
\frac{1^{4}}{4}\ln 1 - \frac{1^{4}}{16} = \frac{1}{4}\cdot 0 - \frac{1}{16} = -\frac{1}{16}.
Subtraindo (valor em e menos valor em 1):
\int_{1}^{e} x^{3}\ln x\,dx = \frac{3e^{4}}{16} - \Big(-\frac{1}{16}\Big) = \frac{3e^{4}+1}{16}.

Resposta

\dfrac{3e^{4}+1}{16}

Exercícios relacionados